mini|250x250px|Die Faddeeva-Funktion in der komplexen Zahlenebene Die Faddeeva-Funktion (auch Kramp-Funktion oder relativistische Plasma-Dispersions-Funktion) ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion,
Sie ist verwandt mit den Fresnel-Integralen, den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil. Die Funktion ist nach Wera Nikolajewna Faddejewa benannt.
Eigenschaften
Real- und Imaginärteil Für genauere Betrachtungen lässt sich mit wie folgt zerlegen: , und stellen hierbei die reale und imaginäre Voigt-Funktion dar, da es sich bei bis auf Vorfaktoren um das Voigt-Profil handelt.
Integraldarstellung Die Faddeeva-Funktion besitzt die Integraldarstellung
sprich sie ist die Konvolution einer Gauß-Funktion und einer einfachen Polstelle. Die reale und imaginäre Voigt-Funktion lassen sich in ähnlicher Weise darstellen:
Verhalten bei Vorzeichenumkehr Bei einer Vorzeichenumkehr von kann bei Berechnungen auf die folgenden Zusammenhänge zurückgegriffen werden:
sowie
ist die Konjugation von .
Ableitung In manchen Anwendungen muss nicht nur die Faddeeva-Funktion selbst, sondern auch ihre Ableitungen berechnet werden, beispielsweise bei der Nichtlinearen Regression in der Spektroskopie. Ihre analytische Ableitung lautet:National Institute of Standards and Technology (NIST): 7 Error functions, Dawson's and Fresnel integrals - 7.10 Derivatives, 15. März 2023, abgerufen am 14. Mai 2023
Dieser Ausdruck kann auch herangezogen werden, um die Änderungen im Real- und Imaginärteil der Faddeeva-Funktion und nachzuvollziehen. Im Prinzip muss dafür das Produkt eingehender betrachtet werden. Mit der obigen Definition des Arguments , kann die Ableitung auch in ihre partiellen Ableitungen nach und zerlegt werden:
Beziehungen zu anderen Funktionen
Dawsonsche Funktion Es gilt folgende Beziehung zur Dawsonschen Funktion
Komplementäre Fehlerfunktion Für rein imaginäre Argumente entspricht die Faddeeva-Funktion der skalierten Komplementären Fehlerfunktion , mit der Komplementären Fehlerfunktion .
Geschichte
Die Funktion wurde 1954 von Wera Faddejewa und Terentjew tabuliert.V. N. Faddeeva, N. N. Terent'ev: Tables of values of the function for complex argument. Gosud. Izdat. Teh.-Teor. Lit., Moscow, 1954; English transl., Pergamon Press, New York, 1961. Sie erscheint als namenlose Funktion im Standardwerk von Abramowitz-Stegun (1964), Formel 7.1.3. Der Name Faddeeva function wurde anscheinend 1990 von Poppe und Wijers eingeführt.Google-Scholar-Recherche laut engl. Wikipedia.
Implementierungen
Steven G. Johnson hat eine Implementierung als freie und offene Software veröffentlicht, die auf einer Kombination der Algorithmen 680 und 916 beruht.Faddeeva Package, unter MIT-Lizenz. Sie liegt der Funktion scipy.special.wofz in der Python-Bibliothek SciPy zugrunde, und sie ist auch in Form einer C-Bibliothek libcerf verfügbar. Für Matlab existiert eine öffentlich einsehbare Implementierung, die auf einer Approximation durch Fourierreihen sowie einer unendlichen Bruchdarstellung basiert.Sanjar Abrarov: The Voigt/complex error function (second version), MATLAB Central File Exchange, 10. Juli 2016, abgerufen am 14. Mai 2023
Literatur
W. Gautschi ACM Transactions on Mathematical Software (1969?): ACM Algorithmus 363. W. Gautschi SIAM J. Numer. Anal. 7, 187 (1970). G. P. M. Poppe, C. M. J. Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38–46 (1990): ACM Algorithm 680. J. A. C. Weideman, SIAM J. Numer. Anal. 31, 1497–1518 (1994): Besonders kompakter Algorithmus in 8 Zeilen Matlab. M. R. Zaghloul and A. N. Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38, 15 (2011): ACM Algorithm 916. S. M. Abrarov and B. M. Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894–1902 (2011). S. M. Abrarov and B. M. Quine, Arxiv, Preprint 2012
Quellen
Kategorie:Mathematische Funktion