Dreieckberechnung rechts|300px|Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.
Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck habe die Seiten , und , die Winkel , und bei den Ecken , und . Ferner seien der Umkreisradius, der Inkreisradius und , und die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken , bzw. gegenüberliegen) des Dreiecks . Die Variable steht für den halben Umfang des Dreiecks : . Schließlich wird die Fläche des Dreiecks mit bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.
Es ist zu beachten, dass hier die Bezeichnungen für den Umkreisradius , den Inkreisradius und die drei Ankreisradien , , benutzt werden. Oft werden davon abweichend für dieselben Größen auch die Bezeichnungen , , , , verwendet.
Winkelsumme
Sinussatz
Formel 1:
Formel 2:
wenn
wenn
wenn
Kosinussatz
Formel 1:
Formel 2:
wenn
wenn
wenn
(Satz des Pythagoras)
Projektionssatz
Die Mollweideschen Formeln
Tangenssatz
Formel 1:
Analoge Formeln gelten für und :
Wegen bleibt eine dieser Formeln gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also etwa:
Formel 2:
wenn
wenn
wenn
Formeln mit dem halben Umfang
Im Folgenden bedeutet immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks , also .
Flächeninhalt und Umkreisradius
Der Flächeninhalt des Dreiecks wird hier mit bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit , um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke auszuschließen):
Heronsche Formel:
Weitere Flächenformeln:
, wobei , und die Längen der von , bzw. ausgehenden Höhen des Dreiecks sind.
, mit
Erweiterter Sinussatz:
In- und Ankreisradien In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius und die Ankreisradien , und des Dreiecks vorkommen.
Die Wurzel 2006/04+05, 104ff., ohne Beweis
Wichtige Ungleichung: ; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck gleichseitig ist.
Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für gilt in analoger Form für und .
Höhen Die Längen der von , bzw. ausgehenden Höhen des Dreiecks werden mit , und bezeichnet.
Hat das Dreieck einen rechten Winkel bei (ist also ), dann gilt
Seitenhalbierende
Die Längen der von , bzw. ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks werden , und genannt.
Winkelhalbierende
Wir bezeichnen mit , und die Längen der von , bzw. ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck .
Allgemeine Trigonometrie in der Ebene 300px|mini|Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis:
Periodizität
Gegenseitige Darstellung Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:
(„Trigonometrischer Pythagoras“)
(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen.)
Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen: für für für für für für für für für für für für
Vorzeichen der Winkelfunktionen
Die Vorzeichen von , und stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen , bzw. .
Wichtige Funktionswerte
mini|hochkant=2.0|Darstellung wichtiger Funktionswerte von Kosinus (1. Klammerwert) und Sinus (2. Klammerwert) auf dem Einheitskreis
(rad)
Mit Hilfe der Additionstheoreme sind noch viele weitere Werte durch algebraische Ausdrücke (ggfs. mit verschachtelten Quadratwurzeln) darstellbar, zum Beispiel alle ganzzahligen Vielfachen von durch die Subtraktionen: , , usw.Joachim Mohr: Kosinus-, Sinus und Tangenswerte, abgerufen am 1. Juni 2016
Symmetrien
Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:
Phasenverschiebungen
Rückführung auf spitze Winkel
Darstellung durch den Tangens des halben Winkels
Mit der Bezeichnung gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges
Additionstheoreme mini|Figur 1 mini|Figur 2 Für Sinus und Kosinus lassen sich die Additionstheoreme aus der Verkettung zweier Drehungen um den Winkel bzw. herleiten. Das ist elementargeometrisch möglich; sehr viel einfacher ist das koordinatenweise Ablesen der Formeln aus dem Produkt zweier Drehmatrizen der Ebene . Alternativ folgen die Additionstheoreme aus der Anwendung der Eulerschen Formel auf die Beziehung . Die Ergebnisse für das Doppelvorzeichen ergeben sich durch Anwendung der Symmetrien.Ausführliche Beweise in Wikibooks Beweisarchiv.
Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. vieweg 1983, Seite 87.
Geometrische Herleitungen sind in Figur 1 und Figur 2 für Winkel und zwischen 0° und 90° veranschaulicht.Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 44
Zu Figur 1:
Zu Figur 2:
Durch Erweiterung mit bzw. und Vereinfachung des Doppelbruchs erhält man
,
.
Für folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen, für die Phasenverschiebungen.
Additionstheoreme für Arkusfunktionen Für die Arkusfunktionen gelten folgende AdditionstheoremeI. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage, 1979. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig. S. 237.
Summanden Summenformel Gültigkeitsbereich oder und und und und oder und und und und und und und und
Doppelwinkelfunktionen mini|hochkant=3|Figur 3
Eine geometrische Herleitung ist in Figur 3 für Winkel und zwischen 0° und 90° veranschaulicht.Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 46
Zu Figur 3: Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich . Hieraus folgt .
Weitere Beziehungen:
Winkelfunktionen für weitere Vielfache
Die Formeln für Vielfache berechnen sich normalerweise über die komplexen Zahlen aus der Euler-Formel
und der DeMoivre-Formel . Damit ergibt sich . Zerlegung in Real- und Imaginärteil liefert dann die Formeln für
und
bzw. die allgemeine Reihendarstellung.
Die Formel für steht über Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 22.3.15, (s. a. oben „Weblinks“) mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.27, (s. a. oben „Weblinks“)
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.29, (s. a. oben „Weblinks“)
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 5th edition (1994), ISBN 0-12-294755-X 1.333.4
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3 (Bei dieser Formel enthält Gradshteyn/Ryzhik allerdings einen Vorzeichenfehler)I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig. 19. Auflage 1979. 2.5.2.1.3
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.28, (s. a. oben „Weblinks“)
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.30, (s. a. oben „Weblinks“)
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.4
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.5
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3
Halbwinkelformeln mini|hochkant=2|Figur 4 Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln, welche sich mittels Substitution aus den Doppelwinkelformeln herleiten lassen:
für
für
für
für Eine geometrische Herleitung der dritten Formel ist in Figur 4 für Winkel und zwischen 0° und 90° veranschaulicht.Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 49 Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich unmittelbar .
Außerdem gilt:
für
für
Siehe auch: Halbwinkelsatz
Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten) Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:
Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:
Produkte der Winkelfunktionen Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:
Aus der Doppelwinkelfunktion für folgt außerdem:
Potenzen der Winkelfunktionen Sinus I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.1
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.2
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.3
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.4
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.5
Kosinus I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.1
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.2
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.3
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.4
I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.5
Tangens
Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen
Weitere Formeln für den Fall α + β + γ = 180°
Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus , solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (Letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).
Sinusoid und Linearkombination mit gleicher Phase
wobei
Allgemeiner ist
wobei
und
Ableitungen und Stammfunktionen Siehe Formelsammlung Ableitungen und Stammfunktionen
Bestimmte Integrale Die Lösungen der nachfolgenden bestimmten Integrale stehen im Zusammenhang mit der Euler’schen Betafunktion, welche weiterhin mit der Gammafunktion verknüpft ist. Das zweite Integral ist z. B. in der Physik bei der Berechnung von Kräften zwischen zylinderförmigen Dauermagneten unter Verwendung der sogenannten Multipol-Entwicklung hilfreich.
Reihenentwicklung
mini|250px|Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün) Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.
Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Kosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt ) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert ( bzw. bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen):
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.67, (s. a. oben „Weblinks“)
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.70, (s. a. oben „Weblinks“)
Produktentwicklung
Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion
Ferner besteht zwischen den Funktionen , und der komplexen Exponentialfunktion folgender Zusammenhang:
(Eulersche Formel)
Weiterhin wird geschrieben.Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser Verlag, Basel 2006, 3. Auflage, S. 292 und 298
Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:
Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.
Sphärische Trigonometrie
Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.
Weblinks Abramowitz-Stegun: Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
Einzelnachweise
!Formelsammlung Trigonometrie Kategorie:Liste (Mathematik)