mini|hochkant=1.6|Flächengleichheit der beiden grünen Rechtecke: Mit und gilt . In der Elementargeometrie ist der Projektionssatz für Dreiecke ein Satz, der für jedes ebene Dreieck eine Beziehung herstellt zwischen den Dreiecksseiten und den Projektionen der anderen Seiten auf die Dreiecksseiten. Konkret besagt er, dass in jedem Dreieck die Rechtecke aus einer Seite und der orthogonalen Projektion der Nachbarseite auf diese Seite denselben Flächeninhalt haben. Damit verallgemeinert er den Kathetensatz des Euklid, der nur für rechtwinklige Dreiecke gilt, auf beliebige Dreiecke.
Aussage Sind und die Seiten eines Dreiecks und bezeichnet die Projektion der Seite auf die Seite , so gelten die Gleichungen
Beweis Die Höhe schneidet die Seite im Punkt und die Höhe schneidet die Seite im Punkt (siehe Abbildung). Dadurch entstehen die rechtwinkligen Dreiecke und mit dem gemeinsamen Winkel bei . Sie stimmen somit in zwei (und damit in allen drei) Winkeln überein, sind also ähnlich. Aufgrund der Ähnlichkeit gilt für die Seitenverhältnisse , woraus sofort folgt. Aus analogen Gründen gelten auch die anderen beiden Gleichungen.
Beziehung zum Kathetensatz In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem rechten Winkel in entsprechen die Projektionen und den Seiten und . Damit liefert der Projektionssatz dann:
Man erhält also als Spezialfall den Kathetensatz des Euklid.
Literatur Hans Schupp: Elementargeometrie (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik). Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 117–118
Kategorie:Dreiecksgeometrie Pythagoras