mini|hochkant=0.8|Für eine rechts-euklidische Relation gilt: vorausgesetzt, dass zu und zu in gleicher Beziehung steht (durchgehende Pfeile), so stets auch zu (gestrichelter Pfeil)
Eine euklidische Relation ist in der Mathematik eine binäre Relation, für die Euklids Axiom „Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich“Das Buch I der Elemente von Euklid enthält einleitend eine axiomatische Grundlegung, in der dieser Grundsatz als 1. Axiom allgemeiner Regeln der Gleichheit aufgeführt ist („Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα“); siehe hierzu W.-D. Geyer: Euklid: Die Elemente – eine Übersicht. Vorlesung über antike Mathematik, SS 2001, S. 3 (PDF; 275 kB). gilt.
Definition
Eine binäre Relation auf einer Menge heißt euklidisch (oder auch rechts-euklidisch), wenn für beliebige Elemente in die folgende Bedingung erfüllt ist: steht zu und zu in gleicher Beziehung, so steht auch zu in dieser Beziehung. Dies lässt sich auch prädikatenlogisch ausdrücken mit .
Dual dazu heißt eine Relation auf links-euklidisch, wenn für beliebige in gilt: stehen sowohl als auch in Beziehung zu , dann steht auch in Beziehung zu , formal .
Eigenschaften
mini|hochkant=0.7|Für Transitivität gilt: vorausgesetzt, dass zu und zu in der Relation steht, so stets auch zu Die Eigenschaft euklidisch zu sein unterscheidet sich von der Transitivität. Zum Beispiel ist die Relation ≤ auf den natürlichen Zahlen transitiv, doch nicht rechts-euklidisch,Da z. B. und gilt, aber nicht . während die durch definierte Relation auf den natürlichen Zahlen nicht transitiv,Da z. B. und gilt, aber nicht . jedoch rechts-euklidisch ist.
Für eine symmetrische Relation sind die Eigenschaften Transitivität, rechts- und links-euklidisch koinzident. Doch kann auch eine nicht-symmetrische Relation sowohl transitiv als auch rechts-euklidisch sein, z. B. definiert durch =0.
Eine Relation, die sowohl rechts-euklidisch als auch reflexiv ist, ist notwendig auch symmetrisch und damit eine Äquivalenzrelation.Denn aus und folgt . Ebenso ist jede links-euklidische und reflexive Relation notwendig eine Äquivalenz.
Der Bildbereich einer rechts-euklidischen Relation ist stets eine TeilmengeGleichheit von Urbild- und Bildbereich ist nicht notwendig: die Relation definiert durch ist rechts-euklidisch auf den natürlichen Zahlen und ihr Bildbereich ist eine echte Teilmenge ihres Urbildbereichs ℕ. ihres Urbildbereichs. Die Einschränkung einer rechts-euklidischen Relation auf ihren Bildbereich ist stets reflexivWenn im Bildbereich von liegt, dann folgt aus für geeignetes , dass . Dies zeigt auch, dass im Urbildbereich von liegt. und somit eine Äquivalenzrelation. Ebenso ist der Urbildbereich einer links-euklidischen Relation stets eine Teilmenge ihres Bildbereichs, und die Beschränkung einer links-euklidischen Relation auf ihren Urbildbereich eine Äquivalenz.
Eine Relation ist links- und rechts-euklidisch genau dann, wenn ihr Urbild- und ihr Bildbereich übereinstimmen und auf dieser Menge eine Äquivalenzrelation ist.Die ""-Richtung folgt aus dem vorherigen Absatz. — Für die ""-Richtung nimm an, dass und gelten, dann liegen im Urbild- und im Bildbereich von ; also folgt wegen Symmetrie und Transitivität. Die links-euklidische Eigenschaft von folgt analog.
Eine rechts-euklidische Relation ist stets quasitransitiv,Wenn gilt, dann liegen sowohl als auch im Bildbereich von . Da auf dieser Menge eine Äquivalenz ist, folgt aus schon der Widerspruch . ebenso eine links-euklidische Relation.Mit einem analogen Argument, das die Lage von und im Urbildbereich von verwendet.
Eine konnexe rechts-euklidische Relation ist stets auch transitiv,Wenn gilt, dann liegen und im Bildbereich von . Da konnex ist, gilt oder oder . ebenso eine konnexe links-euklidische Relation.
Wenn mindestens 3 Elemente hat, kann eine konnexe rechts-euklidische Relation auf nicht antisymmetrisch sein,Da konnex ist, liegen in ihrem Bildbereich mindestens zwei verschiedene Elemente und , für die gilt . Es gilt sogar . Dies widerspricht der Antisymmetrie. gleiches gilt für eine konnexe links-euklidische Relation auf . Auf der zweielementigen Menge ist z. B. die durch definierte Relation konnex, rechts-euklidisch und antisymmetrisch; ist auf dieser Menge konnex, links-euklidisch und antisymmetrisch.
Einzelnachweise und Anmerkungen
Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Euklid als Namensgeber