mini|hochkant=1.4|Ellipse als Kegelschnitt. Die Kegelachse ist so weit geneigt, dass sich die Ellipse in der Seitenansicht von rechts in wahrer Größe zeigt. mini|hochkant=1.4|Ellipse mit Mittelpunkt , Brennpunkten und Scheitelpunkten halber Hauptachse und halber Nebenachse
Eine Ellipse (von ) ist in der Geometrie eine spezielle geschlossene Kurve. Sie zählt neben der Parabel und der Hyperbel zu den Kegelschnitten: Sie entsteht, wenn die Mantelfläche eines Kreiskegels von einer Ebene schräg geschnitten wird. Präzise ausgedrückt ist eine Ellipse die Schnittkurve eines Kreiskegelmantels mit einer Ebene, wenn der Winkel zwischen der Ebene und der Kegelachse größer ist als der halbe Öffnungswinkel des Kegels (siehe Bild rechts). Auch beim schrägen Schneiden einer Zylinderfläche entsteht eine Ellipse.
Eine Ellipse hat viele charakteristische Eigenschaften, die jeweils als Definition herangezogen werden können. Eine verbreitete Definition verwendet die Eigenschaft, dass für alle Ellipsenpunkte die Summe der Abstände zu zwei vorgegebenen Punkten, den Brennpunkten, gleich ist. Fallen die Brennpunkte zu einem Punkt zusammen, erhält man einen Kreis.
Jede Ellipse lässt sich in einem geeigneten kartesischen Koordinatensystem durch eine Koordinatengleichung der Form
oder eine Parameterdarstellung
beschreiben. Hieran erkennt man, dass man eine Ellipse als einen an der -Achse um und an der -Achse um gestreckten Einheitskreis auffassen kann.
Die Ellipse wurde von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.)Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34; hier S. 17. eingeführt und benannt, die Bezeichnung bezieht sich auf die Exzentrizität .I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S. 24.
In der Natur treten Ellipsen in Form von ungestörten keplerschen Planetenbahnen um die Sonne auf. Auch beim Zeichnen von Schrägbildern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird (siehe Ellipse (Darstellende Geometrie)).
Definition als Abstandskurve hochkant=1.3|mini|Ellipse: Definition mit Leitkreis Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für welche die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den Brennpunkten, konstant ist. Bezeichnet man die Brennpunkte mit und und die Abstandssumme mit , so lässt sich diese Punktmenge formal schreiben als
Um eine Strecke auszuschließen, setzt man voraus, dass größer als der Abstand der Brennpunkte ist. Falls die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist ein Kreis mit Radius . Dieser Spezialfall wird im Folgenden oft stillschweigend ausgeschlossen, da die meisten Aussagen über Ellipsen im Kreisfall trivial werden.
hochkant=1.3|mini|Ellipse, Bezeichnungen Der Mittelpunkt der Strecke heißt Mittelpunkt der Ellipse. Die Gerade durch die Brennpunkte ist die Hauptachse und die dazu orthogonale Gerade durch die Nebenachse. Die beiden Ellipsenpunkte und auf der Hauptachse sind die Hauptscheitel. Der Abstand der Hauptscheitel zum Mittelpunkt ist und heißt die große Halbachse. Die beiden Ellipsenpunkte und auf der Nebenachse sind die Nebenscheitel, und ihr Abstand zum Mittelpunkt ist jeweils die kleine Halbachse . Den Abstand der Brennpunkte zum Mittelpunkt nennt man die lineare Exzentrizität und die numerische Exzentrizität. Nach dem Satz des Pythagoras, angewandt auf das Dreieck (Hypotenuse , Katheten und ), gilt .
Die Gleichung kann man auch so interpretieren (siehe Zeichnung Definition mit Leitkreis): Wenn der Kreis um mit Radius ist, dann ist der Abstand des Punktes zum Kreis gleich dem Abstand des Punktes zum Brennpunkt :
heißt Leitkreis der Ellipse bzgl. des Brennpunktes . Diese Eigenschaft sollte man nicht verwechseln mit der Leitlinieneigenschaft einer Ellipse (s. unten). Aufgrund der Leitkreis-Eigenschaft ist eine Ellipse die Äquidistanz-Kurve zu jedem ihrer Brennpunkte und dem Leitkreis mit dem anderen Brennpunkt als Mittelpunkt.
Mit Hilfe Dandelinscher Kugeln beweist man: Jeder Schnitt eines Kegels mit einer Ebene, die die Kegelspitze nicht enthält, und deren Neigung kleiner als die der Mantellinien des Kegels ist, ist eine Ellipse (siehe Einleitungsbild).
Ellipse in kartesischen Koordinaten Gleichung A. Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt und die -Achse entlang der Hauptachse verläuft (Ellipse in Hauptlage), so haben die Brennpunkte die Koordinaten und . Für einen beliebigen Punkt ergibt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras der Abstand zu als und zu als . Also liegt der Punkt genau dann auf der Ellipse, wenn die Bedingung
erfüllt ist. Nach Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren und Verwenden der Beziehung (s. o.) erhält man die Mittelpunktsgleichung
oder nach aufgelöst
Aus der Beziehung erhält man die Gleichungen und Daraus ergeben sich noch die Beziehungen
Ist , so ist und die Ellipse ein Kreis.
B. Die Ellipse in A. lässt sich auch mithilfe einer Bilinearform als Lösungsmenge der Gleichung auffassen.Vgl. z. B. Annette Werner: Skript zur Vorlesung Geometrie. (PDF; 241 kB). Bei: Uni-Frankfurt.de. Hierbei werden die Vektoren und mit dem gleichen Punkt identifiziert. Bei Einführung kartesischer Koordinaten ist die Matrix , ein Zeilenvektor und ein Spaltenvektor.
Aufgrund der Definition einer Ellipse gilt: Eine Ellipse ist symmetrisch zu ihren Achsen und damit auch zu ihrem Mittelpunkt. (Die Symmetrieeigenschaft lässt sich auch leicht an der hier abgeleiteten Gleichung einer Ellipse erkennen.)
Halbparameter Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter, manchmal auch nur Parameter oder auch semi-latus rectum (die Hälfte des latus rectum = ) der Ellipse. Durch Einsetzen von in die nach aufgelöste Mittelpunktsgleichung ergibt sich . ist auch der Krümmungsradius in den Hauptscheiteln (s. weiter unten).
Tangente A. Für den Hauptscheitel bzw. hat die Tangente die Gleichung bzw. . Die einfachste Weise, die Gleichung der Tangente in einem Ellipsenpunkt zu bestimmen, ist, die Gleichung der Ellipse implizit zu differenzieren. Hiermit ergibt sich für die Ableitung
und damit die Punkt-Steigungs-Form der Tangente im Punkt :
Berücksichtigt man , so erhält man die hieraus die Geradengleichung , welche auch die Tangenten durch die Hauptscheitel einschließt. Letzteres gilt auch für die Vektorform .
B. Die in A. eingeführte Tangentengleichung lässt sich auch ohne Differentialrechnung als Spezialfall einer Polarengleichung einführen (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.). Sie entspricht einer Normalenform mit dem Normalenvektor . Von diesem lässt sich ein dazu rechtwinkeliger Richtungsvektor von ablesen. Da nur bis auf einen Skalar eindeutig ist, hat er die Formen ; dies liefert den Richtungsvektor der in A. angegebenen Vektorform und auch die Steigung der dort angegebenen Punktsteigungsform.
Eine zeichnerische Bestimmung von Ellipsentangenten findet man im Artikel Ellipse (Darstellende Geometrie).
Gleichung einer Ellipse in achsenparalleler Lage Verläuft die x-Achse des kartesischen Koordinatensystems parallel zur Hauptachse und die y-Achse parallel zur Nebenachse, und hat der Mittelpunkt der Ellipse die Koordinaten , so wird die Ellipse durch die Gleichung in achsenparalleler Lage beschrieben:
Diese Gleichung erhält man durch eine Koordinatentransformation, bei der das Koordinatensystem um den Vektor verschoben wird.
Parameterdarstellungen Standarddarstellung Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinus-Funktion. Wegen beschreibt
die Ellipse
Verschiedene Möglichkeiten, den Parameter geometrisch zu interpretieren, werden im Abschnitt Ellipsen zeichnen angegeben.
Rationale Parameterdarstellung 300px|mini|Punkte einer Ellipse mit Hilfe der rationalen Parameterdarstellung berechnet () Mit der Substitution und trigonometrischen Formeln erhält man
und damit die rationale Parameterdarstellung einer Ellipse:
Die rationale Parameterdarstellung hat folgende Eigenschaften (s. Bild): Für wird der positive Hauptscheitel dargestellt: ; für der positive Nebenscheitel: . Übergang zur Gegenzahl des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der -Achse: . Übergang zum Kehrwert des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der -Achse: . Der negative Hauptscheitel kann mit keinem reellen Parameter dargestellt werden. Die Koordinaten desselben sind die Grenzwerte der Parameterdarstellung für unendliches positives oder negatives : .
Rationale Parameterdarstellungen der Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel) spielen im CAD-Bereich bei quadratischen rationalen Bezierkurven eine wichtige Rolle.J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-519-02962-6, S. 147.
Tangentensteigung als Parameter Eine Parameterdarstellung, die die Tangentensteigung in dem jeweiligen Ellipsenpunkt verwendet, erhält man durch Differentiation der Parameterdarstellung :
Mit Hilfe trigonometrischer Formeln ergibt sich
Ersetzt man in der Standarddarstellung und , erhält man schließlich
Dabei ist die Tangentensteigung im jeweiligen Ellipsenpunkt, die obere und die untere Hälfte der Ellipse. Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel ) werden durch diese Parameterdarstellung nicht erfasst. Die Gleichung der Tangente im Punkt hat die Form . Der -Abschnitt ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten des zugehörigen Ellipsenpunktes :
Diese Hauptform der Tangentengleichung ist ein wesentliches Hilfsmittel bei der Bestimmung der orthoptischen Kurve einer Ellipse.
Bemerkung: Die Hauptform der Tangentengleichung und die Koordinaten von lassen sich auch ohne Differentialrechnung und ohne trigonometrische Formeln herleiten, indem die Tangente als Spezialfall einer Polare aufgefasst wird (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.)
Verschobene Ellipse Eine verschobene Ellipse mit Mittelpunkt wird durch
beschrieben.
Eine Parameterdarstellung einer beliebigen Ellipse ist in dem Abschnitt Ellipse als affines Bild des Einheitskreises enthalten.
Eigenschaften Brennpunkteigenschaft
mini|Brennpunkteigenschaft
Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der folgenden Eigenschaft: Der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse wird durch die Normale in diesem Punkt halbiert. Anwendungen Der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, ist gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt. Da alle Wege von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zusammengehöriger Brennstrahlen) gleich lang sind, wird z. B. Schall durch konstruktive Interferenz „verstärkt“ übertragen. Die Tangente im Ellipsenpunkt ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels. Da Winkelhalbierenden leicht zu konstruieren sind, bietet die Brennpunkteigenschaft eine einfache Methode, die Tangente in einem Ellipsenpunkt zu konstruieren (Eine weitere Tangentenkonstruktion wird in Ellipse (Darstellende Geometrie) beschrieben.).