mini|Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel , wobei gilt: .
Der Kreiswinkelsatz (auch MittelpunktswinkelsatzGünter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 15–18 oder ZentriwinkelsatzWolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 54) besagt, dass der Mittelpunktswinkel den doppelten Wert des Umfangswinkels hat.Universität Jena: Kreiswinkelsatz
(siehe nebenstehende Abbildung).
Die Scheitel der beiden Winkel befinden sich im Mittelpunkt eines vorgegebenen Kreisbogens (rot in der Abbildung) bzw. in einem beliebigen Punkt auf dem den Vollkreis ergänzenden Kreisbogen (grün in der Abbildung). Ihre Schenkel treffen sich paarweise in den Endpunkten und der beiden Teile des Kreises.Die Längen der Bögen der beiden Kreisteile bilden das reziproke Verhältnis: Der rote Bogen ist doppelt so lang wie der grüne.
Der Mittelpunktswinkel wird auch als Zentriwinkel und der Umfangswinkel auch als Peripheriewinkel bezeichnet.
Beweis Zu beweisen ist, dass α=2β.
Der Umfangspunkt P kann drei unterschiedliche typische Lagen einnehmen: Fall 1: Der Kreismittelpunkt M befindet sich zwischen den Schenkeln des Umfangswinkels β, Fall 2: Der Kreismittelpunkt M befindet sich auf einem Schenkel des Umfangswinkels β, Fall 3: Der Kreismittelpunkt M befindet sich außerhalb der Schenkel des Umfangswinkels β.
Fall 1 mini|Lage des Umfangpunktes im Fall 1 s. nebenstehende Abbildung.
Bestimmung von δ und ζ: Die beiden Dreiecke sind gleichschenklig (ihre Schenkel sind Kreisradien). Ihre Innenwinkelsumme ist wie bei jedem Dreieck 180°. 180°=ϵ+2γ ϵ=180°−2γ ζ=180°−2δ
Die Winkelsumme im Kreis ist 360°. 360°=ϵ+ζ+α Einsetzen der Terme für ϵ und ζ: α=360°−(180°−2γ)−(180°−2δ) α=360°−180°+2γ-180°+2δ α=2γ+2δ α=2(γ+δ) β=(γ+δ) α=2β
Damit ist bewiesen, dass der Peripheriewinkel halb so groß ist wie der Zentriwinkel.
Anwendungen Viele Fragen zur Elementargeometrie, bei denen Winkel an Kreisen vorkommen, lassen sich mit dem Kreiswinkelsatz beantworten.
Eine größere Zahl von Beispielen befinden sich in "Geometrische Denkaufgaben" von Paul Eigenman (Teil 1, Gruppe 2, Kreiswinkelsätze, …)Paul Eigenmann Geometrische Denkaufgaben, KreiswinkelsätzeGeometrische Denkaufgaben, z. B. Aufgabe #55 (mit Lösung)
Anmerkungen
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Geometrie)