Baryzentrische Koordinaten

mini|hochkant=1.25|Die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes (blau) sind die Verhältnisse dreier Massen in den Ecken eines Dreiecks (rot), deren Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) der Punkt ist. In diesem Beispiel hat die baryzentrischen Koordinaten . mini|hochkant=1.2|Die Verbindung zwischen Physik und Geometrie liefert die Gleichung des Hebelgesetzes: Danach ist das Verhältnis der Massen gleich dem Verhältnis der Strecken , die die Lage des Schwerpunktes beschreiben. Baryzentrische Koordinaten (auch homogene baryzentrische Koordinaten) dienen in der linearen Algebra und in der Geometrie dazu, die Lage von Punkten in Bezug auf eine gegebene Strecke, ein gegebenes Dreieck, ein gegebenes Tetraeder oder allgemeiner ein gegebenes Simplex zu beschreiben.

Ebene baryzentrische Koordinaten eines Punktes kann man sich als Verhältnisse von drei Massen vorstellen, die sich in den Ecken eines vorgegebenen Dreiecks befinden und deren Schwerpunkt ist (siehe Bild). Da es dabei nur auf Verhältnisse ankommt, schreibt man . Sind alle Massen gleich, ist der geometrische Schwerpunkt des Dreiecks und hat die baryzentrischen Koordinaten . Ihre geometrische Bedeutung erhalten die baryzentrischen Koordinaten durch die folgenden Eigenschaften: Im 1-Dimensionalen ist das Massenverhältnis gleich einem Verhältnis von Teilstrecken (siehe 2. Bild), im 2-Dimensionalen sind die Massenverhältnisse gleich Flächenverhältnissen von Teildreiecken.

Baryzentrische Koordinaten wurden zuerst von August Ferdinand Möbius 1827 in seinem Buch Der baryzentrische Calcul eingeführt.Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49328-0, S. 76.August Ferdinand Möbius: Der baryzentrische Calcul, Verlag von Johann Ambrosius BartH, Leipzig, 1827. Sie sind ein Spezialfall homogener Koordinaten. Ein wesentlicher Unterschied zu den üblichen homogenen Koordinaten, z. B. in der Ebene, ist die Beschreibung der Ferngerade durch die Gleichung statt durch .

Insbesondere in der Dreiecksgeometrie spielen die baryzentrischen Koordinaten, neben den trilinearen Koordinaten, eine wesentliche Rolle. Überall, wo es um Verhältnisse von Strecken geht, wie zum Beispiel in dem Satz von Ceva, sind sie ein geeignetes Werkzeug. Aber nicht nur in der Geometrie, sondern auch im Bereich des computer-aided Design verwendet man sie zur Erzeugung von dreieckigen Flächenstücken, den dreieckigen Bézierflächen.Josef Hoschek, Dieter Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Teubner-Verlag, 1989, ISBN 3-519-02962-6, S. 243.Gerald Farin: Curves and Surfeces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, S. 20.

Definition und Eigenschaften Definition Es seien die Ortsvektoren der Ecken eines Simplex in einem affinen Raum . Der affine Raum hat dann die Dimension . Falls es für einen Punkt in Zahlen gibt, deren Summe nicht null ist und welche die Gleichung

(G)

erfüllen, sagt man sind baryzentrische Koordinaten des Punktes bezüglich der Punkte und schreibt . Für die Ecken gilt offensichtlich . Baryzentrische Koordinaten sind nicht eindeutig: Für jedes ungleich Null beschreibt auch den Punkt . Das heißt, nur die Verhältnisse der Koordinaten sind wesentlich. An diese Eigenschaft soll die Schreibweise mit erinnern. Man kann baryzentrische Koordinaten als homogene Koordinaten eines -dimensionalen projektiven Raums auffassen, von dem der affine Raum ein Teil ist. Und zwar sind die Punkte von diejenigen Punkte von , die nicht in der durch die Gleichung bestimmten Hyperebene (Fernhyperebene) liegen.

Gleichung (G) ist ein unterbestimmtes homogenes lineares Gleichungssystem, das sich in der üblichen Form (G') schreiben lässt.

Erfüllen die Koordinaten zusätzlich die Normierungsbedingung (N) so spricht man von normierten baryzentrischen Koordinaten. In diesem Fall sind die Zahlen eindeutig bestimmt (s. unten) und man kann den Punkt (Ursprungsgerade) auch als affinen Punkt der Hyperebene des mit der Gleichung auffassen. Um die Normierung formal sicherzustellen, kann man (N) nach einer Koordinate auflösen und in das n-tupel einfügen. Löst man z. B. nach auf, ergibt sich .

Hinweis: Die Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Viele Autoren sprechen nur dann von baryzentrischen Koordinaten, wenn die Normierungsbedingung erfüllt ist.

Normierte baryzentrische Koordinaten lassen sich einfach ermitteln, indem man jede einzelne baryzentrische Koordinate durch die Summe der Koordinaten dividiert.

Eigenschaften Punkt im Simplex Falls die Koordinaten positiv sind, so liegt der Punkt in der konvexen Hülle von , also im Simplex mit diesen Eckpunkten. Die Darstellung eines Punktes innerhalb einer konvexen Hülle als Summe von Eckpunkten eines Simplex wird affine Kombination oder baryzentrische Kombination genannt.

Massenmittelpunkt

Wie man aus der Umstellung (S) der Definitionsgleichung (G) sieht, kann man als Massenmittelpunkt (das Baryzentrum) einer Anordnung von Massen an den Eckpunkten des Simplex auffassen. Dies ist der Ursprung des Begriffs baryzentrisch.

Physikalische Bedeutung der Gleichung (G): Die Gesamtmasse im Schwerpunkt verursacht im Nullpunkt dasselbe Drehmoment wie die Einzelmassen, Gleichung (G'): Die Summe der von den Einzelmassen erzeugten Drehmomente ist im Schwerpunkt gleich 0.

Mittelpunkt zweier Punkte Sind die normierten baryzentrischen Darstellungen zweier Punkte , dann hat der Mittelpunkt die baryzentrische Darstellung

Existenz, Eindeutigkeit normierter Koordinaten Normierte baryzentrische Koordinaten sind eindeutig bestimmt. Denn, versucht man das durch (G') und (N) beschriebene inhomogene lineare Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel zu lösen, ist die Determinante im Nenner ungleich Null, da sie, bis auf einen Faktor, im ebenen Fall (n=3) die orientierte Fläche des Dreiecks und im 3-dimensionalen Fall (n=4) das orientierte Volumen des Tetraeders ist (siehe unten).

Lässt man die Bedingung (N) wieder fallen, hat das lineare homogene System (G') 1-dimensionale Lösungen (Punkte des oben erwähnten projektiven Raums ). Für größeres gilt Entsprechendes.

Unabhängigkeit von Nullpunkt und Skalierung Dass die baryzentrischen Koordinaten nicht von dem zufällig gewählten Nullpunkt des affinen Raums abhängen, erkennt man dadurch, dass eine Verschiebung der Vektoren um einen festen Vektor die Definitionsgleichung (G) unverändert lässt. Dasselbe gilt für eine uniforme Skalierung (Multiplikation der Vektoren mit einem festen Faktor ungleich Null).

Beispiel In der Ebene besteht ein Simplex aus 3 Punkten (Dreieck), d. h., es ist und jeder Punkt hat 3 baryzentrische Koordinaten: . Zum Beispiel hat der geometrische Schwerpunkt des Dreiecks die baryzentrische Darstellung , denn es ist Die normierte Darstellung ist

Vorteil, Nachteil Wie man in dem Beispiel sieht, lassen sich wesentliche Punkte z. B. von Dreiecken einheitlich und einfach beschreiben. Bei Berechnungen müssen nicht die speziellen (affinen) Koordinaten eines gegebenen Dreiecks berücksichtigt werden. Wie man affine Koordinaten in baryzentrische Koordinaten umrechnet, wird in den folgenden Abschnitten gezeigt. Ein gewisser Nachteil baryzentrischer Koordinaten ist allerdings: Sie sind nicht eindeutig (im nicht normierten Fall) und es gibt immer 1 Koordinate mehr als die affinen Koordinaten.

Unterschied zu anderen homogenen Koordinaten: Beispiel n=3 Üblicherweise führt man homogene Koordinaten so ein, dass die Ferngerade durch eine Koordinatenebene, z. B. durch , beschrieben wird. Dies hat den Vorteil, dass ein einfacher Zusammenhang zu den affinen Koordinaten, die die zugehörige affine Ebene (projektive Ebene ohne die Punkte der Ferngerade) beschreiben, besteht: Ein affiner Punkt hat die Koordinaten . Es besteht allerdings der Nachteil, dass die zu den Koordinatenachsen gehörigen projektiven Punkte keine affinen Punkte sind. Nur der Punkt wird zu einem affinen Punkt. Baryzentrische Koordinaten haben keine so einfache Beziehung zu den affinen Koordinaten. Dafür liegen alle den Koordinatenachsen entsprechenden projektiven Punkte im affinen Bereich, denn die Ferngerade wird hier durch die Gleichung beschrieben.

Auf einer Gerade (n=2, Strecke)

Der Schwerpunkt zweier Massen , die auf der -Achse an den Stellen platziert sind, ist die Stelle , wo das Hebelgesetz (Kraft × Kraftarm = Last × Lastarm, siehe 2. Bild) erfüllt ist. Genauer: Wo die Summe der Drehmomente gleich Null istChristian Gerthsen: Physik. Springer-Verlag, 1963, S. 37. und damit gilt: (G'2) Diese Gleichung ist äquivalent zu (siehe Abschnitt Definition) (G2) Auflösen nach ergibt: (S2) Lässt man negative Massen zu, z. B. , so ergibt sich aus (G2) für die Gesamtmasse und .

Eine Lösung von (G'2) ist . Alle Lösungen sind Vielfache davon. Also hat der Schwerpunkt die baryzentrische Darstellung (siehe Abschnitt Definition) mini|hochkant=1.2|Baryzentrische Koordinaten als Verhältnis von Strecken (B2) Dabei ist mini|hochkant=2|Baryzentrische Koordinaten auf einer Gerade (unten). Der Mittelpunkt der Strecke hat die baryzentrischen Koordinaten Dieser einfache Zusammenhang der baryzentrischen Koordinaten mit Verhältnissen von Teilstrecken ist der Grund für ihre Bedeutung in der Dreiecksgeometrie.

Die Aussage (B2) ist der Lehrsatz in §21, S. 25, des Buches von Möbius.

Die normierten baryzentrischen Koordinaten müssen zusätzlich zu (G'2) die Bedingung (N2) erfüllen. Löst man das inhomogene Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen (G'2), (N2) mit Hilfe der Cramerschen Regel, ergibt sich die normierte Darstellung (NB2) Beispiel: Der Mittelpunkt der Punkte besitzt die baryzentrischen Koordinaten und in normierter Darstellung

In einer Ebene (n=3, Dreieck) Umrechnung der Koordinaten Sind in den Ecken eines Dreiecks drei Massen platziert, so sind die Gleichgewichtsgleichungen für die Drehmomente um die Koordinatenachsen (G'3) oder in der Form (siehe Definition) (G3)

Der Schwerpunkt hat die Koordinaten (S3)

Baryzentrische Koordinaten eines gegebenen Punktes , erhält man durch Lösen des unterbestimmten homogenen Systems (G'3) nach . Nimmt man die Normierungsgleichung (N3) hinzu, ist das jetzt inhomogene LGS eindeutig und mit Hilfe der Cramerschen Regel lösbar. Es ergibt sich: mini|hochkant=1|

(NB3) Der gemeinsame Nenner ist der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks, also ungleich Null. Wegen genügt es, zwei der drei Brüche zu berechnen. Alle Zähler lassen sich als -Determinanten schreiben. Verzichtet man auf die Normierung, darf bei den baryzentrischen Koordinaten der gemeinsame Nenner weggelassen werden:

(B3)

Multipliziert man jede Determinante mit , entstehen die orientierten Flächen der Teildreiecke , , (siehe auch den nächsten Abschnitt Beziehung zu trilineare Koordinaten). Damit gilt: (BF3) Aussage (BF3) ist der Lehrsatz in §23, S. 26, des Buches von Möbius.

Spezialfall: Koordinatendreieck:

Für das spezielle rechtwinklige Dreieck als Bezugsdreieck hat ein Punkt die einfachen baryzentrischen Koordinaten .

Geraden, Schnittpunkte, Parallelität mini|hochkant=1.6|In den Punkten befinden sich die Massen . Die lilafarbigen parallelen Geraden haben die jeweils angegebenen Gleichungen. Ihr gemeinsamer Fernpunkt hat die Koordinaten Die Koordinaten der Rasterpunkte sind normiert. Die Ecken des Dreiecks haben die homogenen Koordinaten . Die Gerade durch die Punkte wird durch die Gleichung beschrieben und hat den Fernpunkt . … Die Ferngerade ist durch die Gleichung festgelegt. Eine beliebige Gerade wird durch eine Gleichung beschrieben (s. homogene Koordinaten). Drei Geraden

haben einen Punkt gemeinsam, wenn . Zwei Geraden sind parallel, wenn sie sich auf der Ferngerade schneiden, d. h., wenn . Drei Punkte , und liegen genau dann auf einer Geraden, wenn

Hieraus ergibt sich die Gleichung einer Gerade durch zwei vorgegebene Punkte in Determinantenform:

Beziehung zu trilinearen Koordinaten mini|Grundseite und Höhe eines Teildreiecks