Für jede Primzahl bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper des Körpers der rationalen Zahlen; sie wurden 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des Lokal-Global-Prinzips von Helmut Hasse, das – vereinfacht gesprochen – aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen und über allen gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist vollständig und erlaubt so die Entwicklung einer -adischen Analysis analog zur reellen Analysis.
Motivation Ist eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede ganze Zahl in einer -adischen Entwicklung der Form
geschrieben werden, wobei die aus sind.
ACHTUNG: Nicht verwechseln mit einer (gerade in anderer Reihenfolge definierten) Darstellung der Zahl zur Basis , siehe auch Stellenwertsystem). So ist etwa die Binärdarstellung einer ganzen nichtnegativen Zahl gerade umgekehrt zu ihrer p-adischen Entwicklung; zum Beispiel schreibt man die Binärdarstellung (zur Basis 2):
, aber die 2-adische Entwicklung (meist mit der tiefgestellten Basis links vom Komma) ist: , wenn eine Verwechslung mit dem Stellenwertsystem ausgeschlossen ist.
Einbettung Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung auf unendliche Summen am unteren Ende, d. h. in der folgenden Form:
In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die für alle gilt.
Man kann jedoch einen Konvergenzbegriff definieren und mit umgekehrter Laufrichtung des Indizes konvergente formale Potenzreihen der Form
erzeugen, wobei eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper der Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem dargestellt sind). Analog zum gewöhnlichen Stellenwertsystem (z. B. Dezimaldarstellung) kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:
Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das Komma auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: und bzw. .
Bemerkungen Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. Die endlichen Symbolfolgen bilden einen Ring, und zwar den Unterring von (Dazu muss nicht Primzahl sein, es genügt, dass ist.) liegt (wie selbst) dicht sowohl in wie in , d. h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus approximieren. Wird von -adischen Zahlen oder von einer Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung (1) gemeint. Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) links vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel); mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.Wird dagegen von einer -adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung (0) nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei als dek-adisch, bei als tri-adisch, bei als dy-adisch. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (Index) irgendwo rechts vom Komma angegeben wird.
Die gewöhnliche -adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von , und die Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren (mit positiven Exponenten).Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.
Mit diesen formalen Laurent-Reihen in kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, Multiplikation nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von und die Zahl Ein Vorzeichen wird nicht gebraucht, da auch alle additiv Inversen – negative Zahlen gibt es nicht – je genau eine Darstellung (1) haben.
Des Weiteren lässt sich die Subtraktion nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei
Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht.
Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d. h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt.
Konstruktion Analytische Konstruktion Die reellen Zahlen können als Vervollständigung der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl als oder als zu schreiben, da in gilt.
Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab, und für eine andere als die übliche euklidische (archimedische) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen.
p-adischer Betrag Für eine fest vorgegebene Primzahl definiert man den p-adischen Betrag auf : Jede rationale Zahl lässt sich in der Form schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl und zwei natürlichen Zahlen und , die beide nicht durch teilbar sind. Der -adische Betrag wird dann definiert als und . Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag.
Zum Beispiel gilt für :
für jede andere Primzahl
Im Sinne dieses Betrags sind große Potenzen von betragsmäßig klein. Damit wird auf den -adischen Zahlen ein diskreter Bewertungsring definiert.
Exponentenbewertung Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes wählt man den Exponenten . Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: für . .Da jede Potenz von die 0 teilt, ist wie üblich für alle . . . Man spricht von einer Exponentenbewertung, manchmal auch p-Bewertung, und von einem exponentiell bewerteten Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der verschärften Dreiecksungleichung eine Addition der Werte nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.
Häufig normiert man so, dass ist für das Primelement .So normiert entspricht die Exponentenbewertung der Ordnung einer formalen Potenzreihe in mit der Unbestimmten als Primelement.
p-adische Metrik Die p-adische Metrik auf definiert man über den p-adischen Betrag:Armin Leutbecher: Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S. 118 f.
Damit ist beispielsweise die Folge in bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes gilt:
Die Vervollständigung des metrischen Raums ist der metrische Raum der Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen Abstände eine Nullfolge ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem enthalten ist.
Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form
sofort als konvergent zu erkennen, falls eine ganze Zahl ist und die in liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit ) darstellen lässt.
Algebraische Konstruktion Hier wird zuerst der Ring der ganzen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper
Wir definieren als projektiven Limes
der Restklassenringe : Eine ganze Zahl ist eine Folge von Restklassen aus , die die Verträglichkeitsbedingung (des projektiven Limes)
erfüllen. Für jede ganze Zahl ist die (stationäre) Folge ein Element von Wird auf diese Weise in eingebettet, dann liegt dicht in
Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind wohldefiniert, da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede ganze Zahl die additive Inverse ; und jede Zahl, deren erste Komponente nicht ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle zu teilerfremd, haben also ein Inverses modulo , und die Folge (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu .
Jede -adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form (1) dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge mithilfe der Partialsummen
gebildet. Zum Beispiel kann man die Folge auch als
schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als .
Der Ring der ganzen -adischen Zahlen ist nullteilerfrei, deshalb können wir den Quotientenkörper bilden und erhalten den Körper der Zahlen. Jedes von verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form darstellen, wobei eine ganze Zahl und eine Einheit in ist. Diese Darstellung ist (ein)eindeutig.
Ferner gilt
Einheiten Die Menge der Einheiten wird häufig mit
bezeichnet und die Menge der Einseinheiten mit
Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt
mit als dem Zeichen für den endlichen Körper mit Elementen (Restklassenkörper, engl. "residue field") und als dem Zeichen für das direkte Produkt.
Algorithmus für rationale Zahlen Wie in einem Stellenwertsystem haben die rationalen Zahlen periodische Darstellungen und umgekehrt sind die Werte periodischer Darstellungen rationale Zahlen.
Der Algorithmus zur Berechnung der Ziffern einer rationalen Zahl in einem ist sehr ähnlich dem entsprechenden Algorithmus in einem Stellenwertsystem (s. Stellenwertsystem#Algorithmus für rationale Zahlen). Dazu sei der Zähler und mit der Nenner der rationalen Zahl. function p_adic(p,u,v) // 0 < u < v; p prim und nicht Teiler von v local occurs; begin Ziffernvorrat = "0123..."; // bis zum Zeichen mit dem Wert p-1 s = ""; // die zu bildende Zeichenkette pos = 0; // hier sind alle Stellen links vom Komma while not defined(occurs[u]) do occurs[u] = pos; // die Nummer der Stelle mit dem Rest u q = p*u; z = floor(q/v); // Index z der Ziffer im Vorrat: 0 ≤ z ≤ p-1 u = q – z*v; // u ganzzahlig: 0 ≤ u < v if u = 0 then l = 0; return (s); end if s = s.substring(Ziffernvorrat, z, 1); // Ziffer aus dem Ziffernvorrat dranhängen. // substring(s, 0, 1) ist die erste Ziffer nach dem Komma pos += 1; end while l = pos - occurs[u]; // die Periodenlänge (0 < l < v) // Markiere die Ziffern der Periode mit einem Überstrich: for i from occurs[u] to pos-1 do substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1)); end for return (s); end_proc Die erste gelb hervorgehobene Zeile berechnet eine einzelne Ziffer.
Die darauf folgende Zeile berechnet den neuen Rest der Division modulo des Nenners . Die Gaußklammer floor bewirkt, dass
Daraus folgt und zusammengenommen Da somit alle Reste ganzzahlig nicht-negativ und kleiner als sind, es also nur viele verschiedene von ihnen gibt, müssen sie sich in der wiederholen. Die Wiederkehr eines Restes wird über die Existenz des assoziativen Datenfeldes occurs[u] festgestellt.
Die Periode der Ziffern hat dieselbe Länge wie die Periode der Reste. Die Periodenlänge ist die Ordnung von in der Gruppe .