Die asymptotische Dichte (auch natürliche Dichte) ist ein zahlentheoretischer Grenzwert, der den Anteil einer Untermenge natürlicher Zahlen an der Menge natürlicher Zahlen angibt.
Asymptotische Dichte Sei und definiere die Zählfunktion
für ein , wobei die Mächtigkeit bezeichnet.
Falls der Grenzwert
existiert, so nennt man ihn die asymptotische Dichte von . Es gilt .
Erläuterungen Bei der asymptotischen Dichte handelt es sich um einen Spezialfall einer allgemeinen Dichte von der Form
Die asymptotische Dichte erhält man bei der Wahl für alle .
Eine weitere übliche Dichtefunktion ist die logarithmische Dichte , welche man durch die Wahl für alle erhält. Für den natürlichen Logarithmus gilt
wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Somit definiert man die logarithmische Dichte als
falls sie existiert.
Obere und untere asymptotische Dichte
Die obere asymptotische Dichte von ist durch
definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist die durch
definierte untere asymptotische Dichte von . hat nur dann eine asymptotische Dichte , wenn gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert
und daher kann durch ihn definiert werden.
Beispiele Wenn für die Menge existiert, dann gilt für die bezüglich komplementäre Menge :
Für eine beliebige endliche Menge natürlicher Zahlen gilt: Für die Menge aller Quadratzahlen gilt: Für die Menge aller geraden Zahlen gilt: Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge mit positivem : Für die Menge aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes: Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte mit der Riemannschen Zetafunktion . Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0,2474 und 0,2480. Die Menge aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:
Quellen
Kategorie:Kombinatorik Kategorie:Zahlentheorie