Atmosphärische Gezeiten

Atmosphärische Gezeitenwellen mit Perioden von einem ganzen und einem halben solaren Tag (meridionale Wellenzahlen m = 1 und 2) sowie Wellen mit Perioden von einem ganzen und einem halben Jahr (meridionale Wellenzahl m = 0) sind großskalige atmosphärische Wellen mit horizontalen Dimensionen von der Größenordnung des Erdumfangs. Der Vollständigkeit halber kann man auch noch das zonale klimatische Mittel dazurechnen.

Einführung Die Erdatmosphäre ist ein riesiger Wellenleiter mit einem festen Untergrund (die Erdoberfläche) und nach oben hin offen. In einem solchen Wellenleiter kann eine beliebige Zahl von Eigenmoden existieren. Die Atmosphäre ist jedoch ein nichtlineares chaotisches System, sodass nur großskalige Wellen mit kleinen Amplituden aus dem meteorologischen Rauschen herausgefiltert werden können. Die kleinerskaligen Wellen tragen zum meteorologischen Rauschen bei. Großskalige atmosphärische planetare Wellen existieren für alle Perioden von wenigen Stunden bis zu Jahren.N. K. Vinnichenko: The kinetic energy spectrum in the free atmosphere: 1 second to 5 years. In: Tellus. 22, 1970, S. 158. Aus diesem breiten Spektrum ragen deutlich die ganztägige Gezeitenwelle sowie die Jahreswelle heraus.

Gezeitenwellen sowie Jahres- und Halbjahreswellen werden durch die differentielle solare Erwärmung in der Atmosphäre erzeugt. Sie heißen deshalb thermische Gezeiten. Die gravitativ bedingte Gezeitenkraft des Mondes, die bekanntlich für die Ozeangezeiten von fundamentaler Bedeutung ist, kann ebenfalls lunare atmosphärische Gezeiten erzwingen, die jedoch viel schwächer als die thermischen Gezeiten sind. Gravitativ erzwungene solare Gezeiten sind so klein, dass sie nicht von den solaren thermischen Gezeiten getrennt werden können.

Solare Wärmequelle Ein Teil der sichtbaren Sonnenstrahlung wird direkt in der unteren Atmosphäre, vorzugsweise in den Wolken, absorbiert (etwa 24 %). Dieser Teil ist eine wesentliche Quelle für die Erzeugung der thermischen Gezeiten. Ein etwas größerer Teil (46 %) dringt bis zur Erdoberfläche vor und erhitzt den Untergrund.F. Möller: Einführung in die Meteorologie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1973. Sowohl Wolken als auch Erdoberfläche reflektieren etwa 30 % in den Weltraum zurück (Albedo). Die Ozeanoberfläche wird vor allen Dingen in niedrigen Breiten stark erhitzt, und das Oberflächenwasser verdampft. Feuchte Luft dringt nach oben. Bei der Bildung von Wolken gibt die mit Wasserdampf gesättigte Luft die bei der Kondensation freiwerdende Kondensationsenthalpie an die Umgebung ab. Auf Grund dynamischer Prozesse verteilt sich diese Energie bis in die mittleren Breiten und modifiziert dadurch die durch die direkt absorbierte Sonnenstrahlung erzeugte Wärme.

Im Höhenbereich zwischen etwa 20 und 60 km wird ein breites Band von solarer Ultraviolett-Strahlung absorbiert (Ozonschicht). Dies stellt eine zweite Wärmequelle für die Gezeitenwellen dar.J. M. Forbes: Atmospheric tides I + II. In: J. Geophys. Res. 87, 1980, S. 5222, 5241. Röntgen- und Extrem-Ultraviolett-Strahlen werden oberhalb etwa 85 km (der Thermosphäre) fast vollständig absorbiert und bilden damit eine dritte Wärmequelle zur Erzeugung von Gezeitenwellen. Schließlich gibt es eine vierte Wärmequelle in den Polarlichtzonen der Thermosphäre. Ein magnetosphärisches elektrisches Konvektionsfeld treibt elektrische Ströme im Höhenbereich um 100–150 km (ionosphärische Dynamoschicht). Ohmsche Verluste dieser Ströme erhitzen das thermosphärische Gas in diesen Breiten.

Die thermische Effektivität der einzelnen Atmosphärenschichten wächst mit der Höhe. Während sie in der unteren Atmosphäre von der Größenordnung 0,01 bis 0,1 W/kg ist, beträgt diese in der Thermosphäre 1 bis 10 W/kg. Diese Differenz hat zur Folge, dass Gezeiten in der Troposphäre nur ein marginales Phänomen, in der Thermosphäre dagegen ein dominierendes Ereignis sind.

Gezeitentheorie Wellengleichung mini|300px|Abbildung 1.: Rechteckige Box, die den atmosphärischen Wellenleiter simulieren soll. Sie besitzt einen festen Boden (den Erdboden) und ist nach oben offen. Die Abszisse x ersetzt die geographische Länge λ, die Ordinate y ersetzt die geographische Breite φ. Eine Punktquelle erzeugt aufwärts und abwärts laufende Wellenmoden. Die abwärts laufende Welle wird am Erdboden reflektiert, sodass oberhalb der Quelle nur noch aufwärts laufende Wellen existieren können (Ausstrahlungsbedingung). Die eingezeichnete Meridionalstruktur einer Wellen ist die der ganztägigen Gezeitenwelle (1, -2, -1).

Für einen rechteckigen Wellenleiter der Form von Abb. 1 ist die Lösung der Wellengleichung (z. B. für den Vertikalwind w):

mit (x, y, z) den kartesischen Koordinaten, t der Zeit, ω der Kreisfrequenz, kx = 2πm/L, ky = π(n-1/2)/B konstanten horizontalen Wellenzahlen, (n, m) ganzen Zahlen und (L, 2B) den Dimensionen der Box. Die vertikale Wellenzahl wird dann bestimmt aus der Dispersionsgleichung

mit c der Lichtgeschwindigkeit. Gl. (1) beschreibt die Ausbreitung von zwei freien charakteristischen nach oben und nach unten laufenden Wellen, die oberhalb ihres Quellengebietes sich nur nach oben ausbreiten können (Ausstrahlungsbedingung).

Eine ähnliche Gleichung lässt sich für ultralange Wellen in einer isothermen sphärischen Hintergrund-Atmosphäre mit konstanter Skalenhöhe H entwickeln (Laplace-Gleichung). Dazu ist eine strikte Linearisierung der hydrodynamischen und thermodynamische Gleichungen notwendig, und die Wellenamplituden müssen klein gegenüber den Parametern (Dichte, Druck, Temperatur) der Hintergrund-Atmosphäre sein. Dies gilt für die Gezeitenwellen sowohl in der Troposphäre als auch in der Thermosphäre. Im Höhenbereich zwischen etwa 50 und 100 km können ihre Amplituden so groß werden, dass nichtlineare Effekte, insbesondere Turbulenz, die Wellenstruktur zerstören kann.

Durch die Linearisierung ist eine Separation der Variablen in die Horizontalstrukturen geographische Breite und Länge (φ, λ) sowie Höhe z möglich. Die nach oben laufende Welle der der Gl. 1 äquivalenten Lösung ist dannS. Chapman, R.S. Lindzen: Atmospheric Tides. D. Reidel, Dordrecht 1970.H. Volland: Atmospheric Tidal and Planetary Waves. Kluwer Publ., Dordrecht 1988.

Hier ist die Längenabhängigkeit die Gleiche wie in Gl. 1 (x = a λ; mit a dem Erdradius). Die Meridionalstruktur wird jetzt durch die Hough-Funktion Θnm(φ, ν) ersetzt, die nicht nur von der zonalen Wellenzahl n, sondern auch von der meridionalen Wellenzahl m und der normierten Frequenz ν = ω/Ω (mit Ω = 7,29 × 10−5 s−1 der siderischen Kreisfrequenz der Erdrotation) abhängig ist. Weiterhin ist ζ = z/(2H) eine normierte Höhe. Die Hough-Funktion ist die Lösung der Laplace-Gleichung. Sie kann nur numerisch bestimmt werden und lässt sich durch eine Summe von Kugelfunktionen approximieren. In der Thermosphäre entwickeln sich diese Eigenmoden zu den Kugelfunktionen selbst. Wie in Gl. 1 ist die zonale Wellenzahl n ein Maß für die Zahl der Nullstellen innerhalb eines Erdquadranten. Die vertikale Wellenzahl kz wird nun

mit εnm einem Eigenwert (Lamb-Parameter) und εc = (aΩ)2/(κgH) ≈ 9,5 einer Konstanten. H ≈ 8 km ist die mittlere Skalenhöhe, g = 9,81 m/s2 die Gravitationsbeschleunigung und κ = 1 - cv/p = 0,29 (mit cv, cp den spezifischen Wärmen des Atmosphärengases bei konstantem Volumen bzw. konstantem Druck). Bemerkenswert ist die exponentielle Zunahme der Wellen mit der Höhe in Gl. 3 gemäß exp{z/(2H)}. Solange die Wellen sich ohne Verluste nach oben in ein Gebiet exponentiell abnehmender Dichte ausbreiten, müssen ihre Amplituden aus Energieerhaltungsgründen exponentiell wachsen. Die Folgen dieses Wachstums machen sich vor allen Dingen in der mittleren Atmosphäre bemerkbar, wo die Amplituden solche Größen erreichen können, dass die Bedingungen der Linearisierung nicht mehr erfüllt sind. Die Wellen werden turbulent und geben ihre Wellenenergie an das sie umgebende Gas ab. Weiter bemerkenswert für die atmosphärische Wellenausbreitung im Allgemeinen ist, dass die vertikalen Komponenten der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit entgegengesetzt laufen. Eine aufwärtsgehende Welle besitzt eine Phasengeschwindigkeit, die nach unten gerichtet ist.

Aus Gl. 4 erkennt man, dass die vertikale Wellenzahl kz imaginär wird, wenn εnm < εc ist. Wellen mit reellen Werten von kz heißen interne Wellen. Sie besitzen endlich große vertikale Wellenlängen und können Wellenenergie nach oben transportieren. Ihre Amplituden wachsen exponentiell mit der Höhe. Wellen mit imaginären vertikalen Wellenzahlen heißen externe Wellen. Sie besitzen unendlich große vertikale Wellenlängen, und ihre Wellenenergie nimmt, falls ikz > 1 ist, außerhalb ihres Quellengebietes exponentiell ab. Sie können keine Wellenenergie transportieren. Atmosphärische Schwerewellen und die meisten der atmosphärischen Gezeiten, die in der unteren Atmosphäre angeregt werden, gehören zu den internen Wellen. Da ihre Amplituden exponentiell wachsen, werden diese Wellen spätestens im Höhenbereich um 100 km durch Turbulenz zerstört. Alle jahreszeitlichen Wellen (m = 0) sind externe Wellen.

Lösung der Laplace-Gleichung Michael Longuet-HigginsM. S. Longuet-Higgins: The eigenfunctions of Laplace's equations over a sphere. In: Phil. Trans. Roy. Soc. London, A262, 1968, S. 511. hat die Laplace-Gleichung vollständig gelöst. Er hat entdeckt, dass es auch negative Eigenwerte εnm gibt. Es gibt zwei Klassen von Wellenmoden: Wellen der Klasse I, die mit positiven Indices n gekennzeichnet werden, und Wellen der Klasse II mit negativen n. Die Klasse II-Wellen existieren nur auf Grund der Corioliskraft und verschwinden für Perioden kleiner als 12 h (|ν| > 2). Wellen mit geraden n sind symmetrisch in Bezug auf den Äquator, Wellen mit ungeraden n sind antisymmetrisch. Die Wellen werden gekennzeichnet durch das Zahlentripel (m, n, ν).

mini|500px|Abbildung 2. Meridionalstruktur der Druckamplituden der Hough-Funktionen der ganztägigen Wellen (m = 1; ν = -1) (links) und der halbtägigen Wellen (m = 2; ν = -2) (rechts) auf der Nordhemisphäre. Ausgezogene Linien: symmetrische Wellen; gestrichelte Linien: antisymmetrische Wellen Die fundamentale ganztägige Gezeitenwelle (1, -2, -1) ist eine externe Welle. Sie wandert mit der Sonne nach Westen. Sie besitzt den Eigenwert von ε-21 = - 12.56. Die wichtigste halbtägige Welle (2, 2, -2) ist eine interne Welle mit ε21 = 12.21. Abb. 2 zeigt die Meridionalstrukturen der Druckamplituden der Hough-Funktionen der wichtigsten ganztägigen (m = 1; links) und halbtägigen Wellen (m = 2; rechts). Die von ihrer Meridionalstruktur her am besten an die Wärmequelle in der Troposphäre angepasste ganztägige Gezeitenwelle (1,-2,1) spielt als externe Welle in der unteren Atmosphäre nur eine marginale Rolle. In der Thermosphäre entwickelt sich diese Welle jedoch zur dominanten Gezeitenwelle. Sie treibt den elektrischen Sq-Strom im Höhenbereich zwischen etwa 100 und 200 km (ionosphärische Dynamoschicht).

Verlustprozesse Für eine Linearisierung der hydro- und thermodynamischen Gleichungen führt man eine Parametrisierung der Reibungs- und Wärmeverluste ein. Die turbulente Reibung wird durch einen Rayleigh-Reibungsterm νR, proportional zum negativen Horizontalwind U, die turbulente Wärmeleitung durch einen Newton-Kühlungsterm νN, proportional zur negativen Temperatur, ersetzt. Beide Terme sind reine empirische Zahlen, die aus den Beobachtungen abgeleitet werden müssen. Die Verlustprozesse erscheinen nun in den komplexen (normierten) Frequenzen νr = ν + iνR und νh = ν + νN, sodass die vertikale Wellenzahl kz komplex wird:

Das Verhältnis νR/νN heißt Prandtl-Zahl.