Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders ist eine mathematische Formel der Stereometrie. Sie wurde von Leonhard Euler (1707–1793) in dessen berühmter Abhandlung E 231 (Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita.) angegeben.Maximilian Miller: Stereometrie. 1957, S. 41Der Titel der Abhandlung E 231 lautet auf Deutsch etwa wie folgt: Darlegung einiger kennzeichnender Eigenschaften, mit denen von ebenen Flächen eingeschlossene Körper ausgestattet sind. In dieser Abhandlung gibt Euler den ersten Beweis der Polyederformel an, welche er schon in einer früheren Abhandlung (E 230, abgedruckt unter Elementa doctrinae solidorum, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4, S. 109–140; vgl. Einleitung zu den Commentationes geometricae) erwähnt, aber noch nicht bewiesen hatte. Euler behandelt und löst unter Punkt 20 dieser Abhandlung das Problem, eine Formel für das Volumen des allgemeinen Tetraeders allein unter Bezug auf die Längen der sechs Tetraederkanten anzugeben.Andreas Speiser et al.: Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I. 1953, S. 106–107 Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung zugrunde wie der zur Formel von Heron in der Dreiecksgeometrie.
Die Eulerformel Gegeben sei ein Tetraeder , also eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche. Die zur dreieckigen Grundfläche gehörigen -Kanten seien mit bezeichnet und die im Raum gegenüberliegenden drei -Kanten mit . Weiter sei für jede -Kanten die Länge dieser Kante mit bezeichnet.
Dann gilt für das Tetraedervolumen :
mit
Vereinfachte Eulerformel bei Gleichschenkligkeit und Regularität Für gleichschenkliges Tetraeder gilt bei jeder der sechs -Kanten . Hier vereinfacht sich die Eulerformel wie folgt:Dies ergibt sich bei Berücksichtigung der Formel
Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 1964, S. 112
Hieraus ergibt sich unmittelbar die bekannte Volumenformel für das reguläre Tetraeder:
Miller, op. cit., S. 46
Vereinfachte Eulerformel bei rechtwinkligen Tetraedern Für rechtwinklige Tetraeder gilt der Satz des Pythagoras usw. bei jeder der drei -Kanten der Grundfläche. Hier vereinfacht sich die Eulerformel mit dem Spatprodukt der gegenüberliegenden Kanten zu:
.
Determinantendarstellung Zur Darstellung des Tetraedervolumens lassen sich in eleganter Weise auch die folgenden Identitäten benutzen, welche auf Determinanten symmetrischer Matrizen beruhen:I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 157György Hajós: Einführung in die Geometrie. 1970, S. 383Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. 2012, S. 297
Die dabei zuerst auftretende Determinante nennt man (nach den beiden Mathematikern Arthur Cayley und Karl Menger) auch eine Cayley–Menger-Determinante.
Anwendung der Cayley-Menger-Determinante Die Cayley-Menger-Determinantendarstellung des Tetraedervolumens kann herangezogen werden, um einen klassischen Lehrsatz von Leonhard Euler zu formulieren, nämlich den sogenannten Vierpunktesatz von Euler: Vier (nicht notwendig voneinander verschiedene) Raumpunkte liegen genau dann in einer Ebene, wenn die Beziehung
gilt, wobei jeweils den euklidischen Abstand der Punkte und bezeichnet.
Die Aussage des eulerschen Vierpunktesatzes ist demnach die folgende: Vier Raumpunkte liegen genau dann in einer Ebene, wenn das von ihnen gebildete Tetraeder ausgeartet ist und damit das Volumen hat.
Literatur Originalarbeiten
Monographien
Einzelnachweise und Anmerkungen
Kategorie:Raumgeometrie