Die Gieseking-Konstante ist eine mathematische Konstante, die das maximale Volumen hyperbolischer Tetraeder angibt.Adams: The newest inductee in the number hall of fame. 1998 (englisch)John W. Milnor: Hyperbolic geometry: The first 150 years. In: Bulletin of the AMS, 6, Januar 1982, S. 9–24 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „This works out as 1.0149416....“ auf S. 20) Sie ist nach Hugo Gieseking (1887–1915) benannt, der 1912 aus einem solchen Tetraeder durch Verschmelzung von Seitenflächen die Gieseking-Mannigfaltigkeit konstruierte.Hugo Gieseking: Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen. L. Wiegand, Hilchenbach 1912 (Inaugural-Dissertation an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster; mit Lebenslauf bis 1911; Jahrbuch-Rezension) Colin Adams konnte 1987 nachweisen, dass die Gieseking-Mannigfaltigkeit die eindeutige nichtkompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit minimalem Volumen ist.Colin C. Adams: The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume. In: Proceedings of the AMS, 100, August 1987, S. 601–606 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „v = 1.01494....“ auf S. 602) Die Gieseking-Konstante wird nach Nikolai Lobatschewski auch Lobatschewski-Konstante genannt.Steven R. Finch: 5. September 2004, S. 4 (englisch)
Definition
Die Gieseking-Konstante ist definiert als
(siehe die ).
Die Gieseking-Konstante kann auch über eine Reihenentwicklung definiert werden:
. Beide Definitionen sind zueinander identisch.
Weitere Darstellungen
Funktionaldarstellungen Alternative Schreibweisen der Gieseking-Konstante sind
,
wobei die Clausen-Funktion ist,
,
wobei der (klassische) Dilogarithmus ist,
,
wobei der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist,
,
wobei die Lobatschewski-Funktion ist, und
,
wobei die Trigamma-Funktion ist.
Integraldarstellungen Folgendes Integral entsteht durch Substitution aus der gezeigten Integraldefinition:
Durch weitere Substitution entsteht die nun folgende Identität:
Dieses Integral resultiert aus der Definition der Gieseking-Konstante über ihre Reihenentwicklung:
Eine weitere Integraldarstellung kann mit Hilfe der sogenannten Abel-Plana-Summenformel hervorgebracht werden:
Summendarstellungen Mit den Mittleren Binomialkoeffizienten kann folgende Summenreihe über die Gieseking-Konstante aufgestellt werden:
So ist der Mittlere Binomialkoeffizient definiert:
Die beiden nun genannten Formeln stimmen miteinander überein.
Literatur Colin C. Adams: The newest inductee in the number hall of fame, Mathematics Magazine 71, Dezember 1998, S. 341–349 (englisch; Zentralblatt-Rezension) Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 233 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Synthetische Geometrie