mini|Symmetrie und Asymmetrie mini|Symmetrie in der Architektur mini|Symmetrie in der Biologie mini|Leonardo da Vincis „vitruvianischer Mensch“ mini |Narziss, ein schöner Jüngling, verliebte sich in sein eigenes Spiegelbild(Caravaggio, 1598/99, Galleria Nazionale d’Arte Antica, Rom)

Mit dem geometrischen Begriff Symmetrie ( „Ebenmaß, Gleichmaß“, aus „zusammen“ und „Maß“) bezeichnet man die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch Bewegungen auf sich selbst abgebildet werden kann, also nach der Abbildung unverändert erscheint. Eine Umwandlung, die ein Objekt auf sich selbst abbildet, heißt Symmetrieabbildung oder Symmetrieoperation.

Manchmal werden auch zwei (oder mehr) verschiedene geometrische Objekte als zueinander symmetrisch bezeichnet, wenn sie, zusammen betrachtet, eine symmetrische Figur bilden.

Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es folgende unterschiedliche Symmetrien:

Symmetrien im Eindimensionalen Im Eindimensionalen, also auf einer Geraden, gibt es die Symmetrie zu einem einzelnen Punkt (Spiegelung) sowie die Symmetrie der Translation (Verschiebung). Der Symmetrieaspekt ist in diesem eingeschränkten Bereich allerdings relativ uninteressant. Aber schon eine Dimension höher, also in der Ebene, tritt Symmetrie in deutlich vielfältigerer Weise in Erscheinung.

Symmetrien im Zweidimensionalen Im Zweidimensionalen muss zwischen Punkt- und Achsensymmetrie unterschieden werden. Daneben treten auch hier Translationssymmetrien auf, aber auch andere Symmetrieformen, die es im Eindimensionalen nicht geben kann.

Rotationssymmetrie / Drehsymmetrie mini|Vier reguläre Polygone und zwei weitere geometrische Figuren mit den Kennzahlen ihrer Rotationssymmetrie, auch Drehsymmetrie genannt (n=1 bedeutet: ohne Drehsymmetrie)

Eine zweidimensionale geometrische Figur besitzt dann die Eigenschaft, rotationssymmetrisch zu sein, wenn die Figur einen zentralen Punkt besitzt, und die Figur auf sich selbst abgebildet wird, wenn man sie um diesen Punkt dreht. Ein Kreis oder ein Kreisring sind rotationssymmetrisch im engeren Sinne. Eine Drehung um jeden beliebigen Winkel bildet sie auf sich selbst ab.

Rotationssymmetrisch (oder auch drehsymmetrisch) wird eine Figur auch dann genannt, wenn sie auf sich abgebildet werden kann, indem sie um einen festen Winkel mit 0°<< 360° um den zentralen Punkt gedreht wird.Die Terminologie ist nicht immer einheitlich. Man nennt die Rotationssymmetrie um einen festen Winkel auch Drehsymmetrie, um sie von der Rotationssymmetrie zum Beispiel der eines Kreises zu unterscheiden. Der Drehwinkel kann nur durch Division des vollen Winkels durch eine natürliche Zahl >1 entstehen, also . Diese Zahl ist eine Kennzahl der Rotationssymmetrie und wird auch „Zähligkeit“ genannt.Kleber 2010, S. 52 Entsprechend heißt diese Symmetrie auch -zählige oder -fache Rotationssymmetrie (analog zum Englischen „-fold rotational symmetry“) oder auch „-zählige Drehsymmetrie“.

Reguläre Polygone sind typische drehsymmetrische Figuren. Die rechts stehende Grafik zeigt die ersten vier, wobei die jeweils größtmögliche Kennzahl der Rotationssymmetrie mit eingezeichnet worden ist. Außerdem sind zwei weitere Figuren dargestellt, und zwar eine ohne und eine mit 2-facher Rotationssymmetrie. Im Trivialfall liegt keine Rotationssymmetrie/Drehsymmetrie vor und die Kennzahl 1 wird im mathematischen Kontext nicht verwendet, es sei denn, man möchte die triviale zyklische Gruppe kennzeichnen, die nur aus der identischen Abbildung besteht. (Siehe dazu den später folgenden Abschnitt über Symmetriegruppen.)

Weitere Beispiele für 2-fache Rotationssymmetrie sind die weiter unten abgebildeten punktsymmetrischen Figuren. Dass punktsymmetrische Objekte stets auch rotationssymmetrisch sind, gilt jedoch nur im Zweidimensionalen.

Symmetriegruppen Um alle Operationen, die ein beliebiges geometrisches Objekt auf sich selbst abbilden, zu einem mathematischen Konstrukt zusammenzufassen, spricht man von sogen. Symmetriegruppen. Die einzelnen Operationen, also die Elemente dieser Gruppen, zu denen immer auch die identische Abbildung gehört, heißen Symmetrieelemente. Die Schoenflies-Symbolik legt für die Symmetriegruppen der -fachen Rotationssymmetrie das Symbol fest. Spiegelsymmetrie / Achsensymmetrie

mini|Spiegelsymmetrische Objekte in der Ebene mini|Alle Symmetrieelemente der obigen Polygone, einschließlich ihrer Spiegelsymmetriegeraden

Die Spiegelsymmetrie ist eine Form der Symmetrie, die bei Objekten auftritt, die senkrecht zu einer Symmetrieachse gespiegelt sind (siehe Zeichnung rechts).Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden. BI-Taschenbuchverlag 1992, Band 21, S. 258. Im Zweidimensionalen ist sie gleichbedeutend mit axialer Symmetrie oder Achsensymmetrie. Man spricht hier auch von einer Spiegelsymmetriegeraden. Für jede Spiegelsymmetrie gilt: Figur und Bildfigur sind deckungsgleich zueinander. Strecke und Bildstrecke sind gleich lang. Winkel und Bildwinkel sind gleich groß. Figur und Bildfigur haben verschiedenen Umlaufsinn, sofern in der Figur ein Umlaufssinn definiert ist.

Beispiele Dreiecke können eine oder drei Spiegelsymmetrieachsen haben: Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten der Basis. Homogene gleichseitige Dreiecke haben drei Spiegelsymmetrieachsen, wie die nebenstehende Grafik zeigt. Die Tatsache, dass bei diesen farbig dargestellten Polygonen die Zahl der Symmetrieachsen mit der oben genannten Zähligkeit für die Drehsymmetrie jeweils übereinstimmt, gilt nicht allgemein, denn es gibt viele drehsymmetrische Objekte, die keine Spiegelsymmetrie aufweisen, beispielsweise die weiter unten abgebildeten punktsymmetrischen Formen. Vierecke können eine, zwei oder sogar vier Spiegelsymmetrieachsen besitzen: Mindestens eine Spiegelsymmetrieachse haben gleichschenklige Trapeze (durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten) und Drachenvierecke (entlang einer Diagonale). Mindestens zwei Spiegelsymmetrieachsen liegen vor beim Rechteck (die Mittelsenkrechten von gegenüber liegenden Seiten) und bei der Raute (beide Diagonalen). Das homogene Quadrat schließlich ist Rechteck und Raute zugleich und weist vier Spiegelsymmetrieachsen auf. Ist es „gefüllt“, kann sich die Anzahl reduzieren, wie die nebenstehende Grafik ebenfalls zeigt. Kreise und Kreisringe weisen sogar unendlich viele Symmetrieachsen auf, da sie zu jeder Achse durch den Mittelpunkt symmetrisch sind. Eine weitere Figur mit unendlich vielen Symmetrieachsen ist die Gerade. Da sie unendlich lang ist, ist sie symmetrisch zu jeder zu ihr senkrechten Achse sowie der auf ihr selbst liegenden Achse.

Achsensymmetrie von Funktionsgraphen mini|hochkant=0.8|Achsensymmetrischer Funktionsgraph

Eine vor allem in der Schulmathematik beliebte Aufgabenstellung besteht darin, für den Graphen einer Funktion die Achsensymmetrie nachzuweisen. Dieser Nachweis ist besonders einfach im Falle der Symmetrie der y-Achse des (kartesischen) Koordinatensystems. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:

Ist sie für alle x gültig, liegt Achsensymmetrie vor, das heißt f ist eine gerade Funktion.

Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass die Funktionswerte für die entgegengesetzt gleichen Argumente und übereinstimmen müssen.

Allgemeiner gilt: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung , wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von x richtig ist:

Durch Substitution von mit erhält man die äquivalente Bedingung:

Symmetrien lateinischer Großbuchstaben mini|Symmetrien lateinischer Großbuchstaben

In der Abbildung Symmetrien lateinischer Großbuchstaben sind die 26 Buchstaben nach ihren geometrischen Symmetrieeigenschaften in fünf Gruppen unterteilt. Die Buchstaben FGJLPQR besitzen keine Symmetrie. NSZ sind zweizählig drehsymmetrisch. AMTUVWY sind zu einer vertikalen und BCDEK zu einer horizontalen Spiegelgeraden symmetrisch. Die höchste Symmetrie mit vier Symmetrieelementen weisen die Buchstaben HIOX auf, die sowohl zweizählig drehsymmetrisch sind als auch jeweils eine horizontale und eine vertikale Spiegelgerade besitzen.

Die Symmetrieeigenschaften von Buchstaben ist hierbei so zu verstehen, dass sie nicht zwangsläufig für jeden Schrifttyp auftreten. So ist beispielsweise das B in vielen Schriftarten nicht spiegelsymmetrisch (etwa als ), in der hier gewählten Abbildung aber sehr wohl. Generell kann man festhalten, dass bei Kursivschrift sämtliche Spiegelsymmetrien der Buchstaben verloren gehen, die Punktsymmetrien jedoch erhalten bleiben. (Beim O könnte man sich einen speziellen Schrifttyp vorstellen, der den Buchstaben als exakten Kreisring darstellt. In diesem Sonderfall wäre das O sogar rotationssymmetrisch im engeren Sinne und besäße unendlich viele Spiegelgeraden.)

Geometrische Symmetrie gibt es auch bei einigen Wörtern. Die Interjektion OHO zum Beispiel hat vier Symmetrieelemente, OTTO oder der Markenname MAOAM haben eine senkrechte und BOB eine waagerechte Spiegelgerade. Diese Wörter sind außerdem Wortpalindrome. KOCHECKE, BOXHIEBE und HOCHKOCHE sind weitere Beispiele für horizontal spiegelsymmetrische Wörter in den dafür passenden Schrifttypen.

Punktsymmetrie mini|hochkant=1.2|Punktsymmetrische Objekte in der Ebene

Ein geometrisches Objekt (z. B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch oder zentralsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Der Punkt, an dem die Spiegelung erfolgt, heißt Symmetriezentrum. Im Zweidimensionalen ist die Punktsymmetrie dasselbe wie eine 2-zählige Drehsymmetrie.

Beispiele Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist in diesem Fall der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Als Sonderfälle des Parallelogramms sind auch Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch. Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt. Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen den beiden Kreismittelpunkten. Bei der Punktsymmetrie sind zueinander symmetrische Strecken immer gleich lang.

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen mini|hochkant=0.8|Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden:

.

Ist diese Gleichung für alle erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt vor. Im Spezialfall von Punktsymmetrie um den Ursprung vereinfacht sich diese Gleichung zu

.

Ist sie für alle x gültig, dann liegt Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung vor.

Translationssymmetrie

mini|Translationssymmetrisches Gitter Figuren, die durch eine Verschiebung oder Translation (die nicht die Identität ist) in sich selbst überführt werden, haben eine Translationssymmetrie. Sie werden auch als periodisch bezeichnet. Figuren, die translationssymmetrisch sind, müssen zwangsläufig unbeschränkt sein. In Anwendungen außerhalb der Mathematik ist dies praktisch nie gegeben, daher bezeichnet man dort auch beschränkte Teilmengen von periodischen Mengen (Gitter, Kristallstruktur u. Ä.) als periodisch. Eine Funktion ist translationsinvariant, wenn es einen Vektor gibt mit für alle . Die Schaubilder periodischer reeller Funktionen wie der Sinus-Funktion weisen eine Translationssymmetrie in einer Richtung auf. In einem Gitter mit den Basisvektoren kann durch den Translationsvektor jeder Punkt durch ganzzahlige Werte von erreicht werden. Der Winkel zwischen ist dabei beliebig. Die Basisvektoren sind ebenso Translationsvektoren und spannen zusammen die sogenannte Einheitszelle auf.

Skalensymmetrie