In der Mikroökonomik bezeichnet man als Präferenzrelation allgemein eine Rangfolge, in der zwei Güterbündel („Alternativen“) danach angeordnet sind, wie sie ein Marktteilnehmer oder eine Gruppe von Marktteilnehmern einander vorzieht. Formal handelt es sich bei einer Präferenzrelation um eine binäre Relation.
Allgemeines Beispielsweise ist eine Präferenzrelation (die so genannte Präferenz-Indifferenz-Relation, auch: schwache Präferenzrelation), die anzeigt, dass ihre erste Komponente als strikt besser als oder gleich gut wie die zweite empfunden wird. Präferiert eine Person beispielsweise eine Alternative (schwach) gegenüber , dann ist das Tupel in der Menge enthalten (der Index soll andeuten, dass es sich um die Präferenzen von Person handelt).
Andere Präferenzrelationen sind die strikte Präferenzrelation („strikt besser als“) sowie die Indifferenzrelation („gleich gut wie“); auf eine gesonderte Definition der umgekehrten Konstellationen („schlechter als oder gleich gut wie“ bzw. „strikt schlechter als“) wird üblicherweise verzichtet, da man die zugrunde liegenden Präferenzstrukturen durch Vertauschung der Komponenten auch in der hier definierten Weise formulieren kann.
Man bezeichnet eine Präferenzrelation als Präferenzordnung, wenn sie gewisse Minimalanforderungen erfüllt (siehe Abschnitt #Präferenzordnung). Ist dies der Fall, wird auch von der Rationalität der Präferenz-Indifferenz-Relation gesprochen. Die Präferenzordnung ist ein wichtiges Rationalitätskonzept innerhalb der Wirtschaftswissenschaften. Ein anderes Axiomsystem für einen rationalen Entscheider stammt von John von Neumann und Oskar Morgenstern.Axiome rationalen Entscheidens, Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.
Geschichte Die erste axiomatische Fundierung der Präferenzrelation wurde 1926 von Ragnar Frisch vorgelegt.Wolfgang J. Fellner: Von der Güter- zur Aktivitätenökonomie: Zeitnutzung und endogene Präferenzen in einem Konsummodell. Springer-Verlag, 2014, S. 10.Ragnar Frisch: Sur un problème d’économie pure. In: Norsk Matematisk Forenings Skrifter. Oslo 1 (16), 1926, S. 1–40. Nach der Pionierarbeit durch Frisch in den 1920ern lag das Hauptaugenmerk darauf, wie man eine Präferenzstruktur auf eine reellwertige Funktion abbilden könne. Dies wurde durch das Konzept der Nutzenfunktion erreicht, eine mathematische Modellierung von Präferenzen. Gérard Debreu leistete 1954 einen wichtigen Beitrag zum Zusammenhang von Präferenzrelation und Nutzenfunktion: sein Repräsentationstheorem (auch Satz von Debreu genannt).Gerard Debreu: Representation of a preference ordering by a numerical function. Decision processes 3, 1954, S. 159–165.
Definition Man geht im -Güter-Fall von einer Menge
aus, in der sämtliche existierende Güterbündel („Alternativen“) enthalten sind. Ein Güterbündel enthält das Gut mit der Menge für . Die Elemente von sind Güterbündel und damit -Tupel , sodass beispielsweise die Menge von Gut 3 im Güterbündel anzeigt. Für Tupel gilt, anders als für Mengen, dass die Reihenfolge der Objekte eine Rolle spielt.
Präferenzrelationen sind binäre Relationen auf , das heißt, sie sind Untermengen von . Betrachtet sei im Folgenden zunächst nur die so genannte Präferenz-Indifferenz-Relation ( wie beschrieben). Im so definierten sind alle geordneten Paare enthalten, für die gilt, dass schwach gegenüber bevorzugt wird. Man verwendet fortan die Schreibweise für . Man kann ohne Umwege auch direkt als „ist besser als oder gleich gut wie“ lesen.
Durch werden zwei weitere Relationen – abermals Untermengen von – induziert. Zum einen die Indifferenzrelation , zum anderen die Präferenz-Relation . Ihre Bedeutung ergibt sich aus der von : Für zwei Alternativen und ist genau dann bzw. , wenn und zugleich . kann man dann als „ist gleich gut wie“ lesen. Analoges gilt für : Für zwei Alternativen und ist genau dann bzw. , wenn , aber nicht zugleich . liest man als „ist besser als“.
Anstelle der Buchstaben , und für die Relationen sind auch Symbole gebräuchlich. Es ist dann sowie und .
Will man ausdrücken, dass man sich auf die Präferenzstruktur einer konkreten Person bezieht, kann man die Relation entsprechend indexieren; so steht dann zum Beispiel dafür, dass Person die Alternative strikt gegenüber vorzieht.
Eigenschaften Je nach ihrer individuellen Beschaffenheit kann man die Präferenz-Indifferenz-Relation beispielsweise auf folgende Eigenschaften hin untersuchen:Weitgehend nach Jehle/Reny 2011, S. 4–12.
Vollständigkeit: oder (oder beides) Dies stellt sicher, dass für jede Alternative auch tatsächlich ein Ranking existiert; die Vollständigkeitseigenschaft bedeutet allerdings nicht, dass auch tatsächlich eine strikte Präferenz vorliegen muss – vielmehr können zwei Alternativen ohne Widerspruch zu dieser Bedingung auch als gleichwertig empfunden werden. Transitivität: mini|Zirkelschluss (Verletzung der Transitivitätsannahme), der durch sich schneidende „Indifferenzkurven“ hervorgerufen wurde Durch die Eigenschaft wird verhindert, dass es zu sogenannten zirkulären Präferenzen kommt. Dass die Präferenzstruktur ohne ihre Gültigkeit zirkulär wäre, wird durch folgendes Beispiel einsichtig: Man denke an eine Person, die Äpfel mindestens so gern hat wie Birnen und Birnen mindestens so gern wie Zitronen. Würde sie nun nicht, wie von der Transitivitätseigenschaft gefordert, auch Äpfel mindestens so gern haben wie Zitronen, dann müsste logisch notwendig das Gegenteil zutreffen: Sie hätte Zitronen lieber als Äpfel. Es wurde aber angenommen, dass sie Birnen mindestens so gern hat wie Zitronen usw. usf., sodass die Suche nach der präferierten Option ohne die Transitivitätsannahme ergebnislos bliebe. Reflexivität: Gemeint ist, dass eine Alternative unabhängig von der Situation stets gleich bewertet wird (kurzum gilt also ). Die Reflexivitätseigenschaft wird klassischerweise in einer Reihe mit den beiden vorstehenden Axiomen genannt, sie folgt aber eigentlich schon aus der Vollständigkeitseigenschaft. Stetigkeit: Für alle gilt: Die Mengen (obere Konturmenge) und (untere Konturmenge) sind abgeschlossen bezüglich (Schwache) Monotonie:Die Monotonitätsdefinitionen folgen Varian 1992 (S. 96), werden in der Literatur aber unterschiedlich definiert. Barten/Böhm 1982 (S. 390 f.) führen das Konzept schwacher Monotonie im hier dargestellten Sinne gar nicht erst ein, sondern definieren die Eigenschaft „Monotonie“ entsprechend der hiesigen Definition strenger Monotonie. Mas-Colell/Whinston/Green 1995 (S. 42) nutzen dieselbe Definition wie hier für die strenge Monotonitätseigenschaft und definieren für die (schwache) Monotonie, R sei (schwach) monoton auf wenn Zum Verständnis muss man sich wieder ins Bewusstsein rufen, dass die Alternativen Güterbündel darstellen: Wenn ein Güterbündel von jedem Gut eine mindestens so große Anzahl enthält wie ein Güterbündel , dann wird es auch mindestens so gut bewertet wie Analog definiert ist die Strenge Monotonie: Wenn ein Güterbündel von jedem Gut eine mindestens so große Anzahl enthält wie ein Güterbündel von mindestens einem Gut aber sogar eine strikt größere Anzahl, dann wird es auch strikt gegenüber präferiert. Jede streng monotone Präferenzrelation ist damit auch (schwach) monoton. Nichtsättigung: Zu jedem gibt es ein mit der Eigenschaft Mit anderen Worten gibt es zu jeder Wahl eine bessere Alternative. Lokale Nichtsättigung: Zu jedem und in jeder Umgebung um gibt es ein mit der Eigenschaft Formal: Im Vergleich zur Nichtsättigung ist lokale Nichtsättigung eine strengere Annahme, weil in jeder noch so kleinen Umgebung der Ausgangsstelle eine bessere Alternative existieren muss. Andererseits ist lokale Nichtsättigung eine schwächere Annahme als strenge Monotonie, weil sie die Existenz von bads zulässt, also Gütern, die den Nutzen des Individuums mindern. Konvexität:Vgl. Barten/Böhm 1982, S. 391 und Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 44. Die Konvexkombination zweier als gleich gut bewerteter Güterbündel wird mindestens so gut oder besser bewertet wie eines der Güterbündel. In der graphischen Anschauung sind die zugehörigen Indifferenzkurven streng konvex oder zumindest linear. Die oberen Konturmengen sind für alle konvexe Mengen. Strikte Konvexität: Eine Konvexkombination zweier nicht identischer aber gleich gut bewerteter Bündel wird dem einen Bündel vorgezogen. In der graphischen Anschauung sind die zugehörigen Indifferenzkurven streng konvex. Homothetie: Geometrisch impliziert diese Eigenschaft, dass die Steigungen der Indifferenzkurven entlang eines Ursprungsstrahls konstant bleiben. Daher verlaufen die Einkommens-Konsum-Kurven linear: Bei wachsendem Einkommen werden alle Güter in unveränderten Proportionen nachgefragt.
Präferenzordnung Von Bedeutung sind insbesondere die ersten beiden Eigenschaften. Mit ihnen gilt nämlich:
Die Rationalität von R hat auch wichtige Auswirkungen bezüglich der von ihr induzierten Relationen:
Zur Begründung siehe der Abschnitt #Implikationen von R für P und I.
Implikationen für die Nutzenfunktion Mathematisch ist es oft einfacher, Präferenzordnungen durch Nutzenfunktionen zu repräsentieren. Eine Funktion heißt Nutzenfunktion, die die Präferenzordnung repräsentiert, wenn . Es stellt sich die Frage, ob jede Präferenzordnung durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden kann. Dies ist nicht der Fall, doch reichen die folgenden Annahmen aus:
In der Literatur werden alternative Annahmen hergeleitet, die die Existenz einer Nutzenfunktion sichern.G. Herden: On the Existence of Utility Functions. In: Mathematical Social Sciences. 17, 1989, S. 297–313. Die obigen Annahmen sind daher hinreichend, aber nicht notwendig. Enthält die Alternativenmenge endlich oder abzählbar unendlich viele Elemente, gelingt die Repräsentation einer darauf definierten Präferenzordnung stets ohne zusätzliche Annahmen.
Beispiel: Wird bei zwei Alternativen die erste strikt gegenüber der zweiten vorgezogen, kann diese Präferenzordnung durch die Nutzenfunktion und repräsentiert werden.
Lexikographische Präferenzordnung
Betrachtet seien als Beispiel zwei Güterbündel und . Die Präferenzordnung bezüglich dieser Güterbündel heißt lexikographisch falls gilt: Aus folgt aus und folgt Enthält ein Güterbündel also mehr von Gut 1, dann wird es strikt vorgezogen, und zwar unabhängig davon, welche Menge von Gut 2 es enthält. Nur dann, wenn beide Güterbündel Gut 1 in derselben Menge enthalten, kommt es auf die Mengen von Gut 2 an. Aus Sicht des betrachteten Individuums ist Gut 1 also ungleich wichtiger als Gut 2.
Lexikographische Präferenzordnungen sind nicht stetig und deshalb auch nicht durch Nutzenfunktionen repräsentierbar.Hierzu ausführlich Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 46 f. Dass sie nicht stetig sind, erkennt man wie folgt: Sei ein festes Güterbündel und sei eine Folge weiterer Bündel derselben Güter, wobei alle Glieder den Bedingungen und genügen (alle Güterbündel enthalten mehr von Gut 1 als das Güterbündel , aber weniger von Gut 2). Dies impliziert für alle Konvergiert die Folge gegen einen Grenzwert mit und dann gilt nicht was die Annahme der Abgeschlossenheit bzw. Stetigkeit verletzt.
Mathematische Grundlagen; formale Nachträge Im Folgenden verwendete Definitionen (teilweise Wiederholung von oben) für eine allgemeine nichtleere Menge X (B eine binäre Relation auf X):
Vollständigkeit: oder (oder beides) Reflexivität: Irreflexivität: Symmetrie: Asymmetrie: Transitivität: Negative Transitivität:
Implikationen von R für P und I Das skizzierte Konzept lässt sich verallgemeinern, sodass es unter anderem möglich wird, die drei hier betrachteten Relationen in einen formalen Zusammenhang zu stellen.
Wir vereinbaren, dass die Präferenz-Indifferenz-Relation eine vollständige Quasiordnung ist, das heißt, sie ist vollständig, reflexiv und transitiv (ökonomisch entspricht dies unserer Definition der Präferenzordnung). ist der asymmetrische Teil der Quasiordnung , das heißt, es gilt: