In der mengentheoretischen Topologie ist ein Stone-Raum (auch proendlicher Raum, proendliche Menge oder Boolescher Raum) ein kompakter und total unzusammenhängender Hausdorff-Raum.
Definition
Für einen topologischen Raum sind die folgenden Aussagen äquivalent:
ist kompakt, Hausdorff und total unzusammenhängend; ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher diskreter Räume in der Kategorie der topologischen Räume;Stacks project: Tag 08ZY ist kompakt, T0 und hat induktive Dimension 0; ist spektral und Hausdorff.Stacks project: Tag 0905
In diesem Fall heißt Stone-RaumStacks project: Tag 08ZX.
Beispiele
Ein endlicher topologischer Raum ist genau dann ein Stone-Raum, wenn er diskret ist. Für eine Primzahl ist der Ring der -adischen ganzen Zahlen mit der -adischen Topologie ein Stone-Raum. Die Cantor-Menge ist ein Stone-Raum. Jede proendliche Gruppe ist ein Stone-Raum. Jeder kompakte und extremal unzusammenhängende Hausdorff-Raum ist ein Stone-Raum.Scholze: Warning 2.6
Kategorielle Eigenschaften
Die Kategorie der Stone-Räume mit stetigen Abbildungen ist äquivalent zur Pro-Kategorie der Kategorie der endlichen Mengen. Ein Limes von Stone-Räumen in der Kategorie der topologischen Räume ist wieder ein Stone-RaumStacks project: Tag 0ET8. Nach dem Darstellungssatz für Boolesche Algebren ist die Kategorie der Stone-Räume antiäquivalent zur Kategorie der booleschen Algebren.
Lokale Stone-Räume
Ein topologischer Raum ist lokal Stone bzw. lokal proendlich, wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die mit der Teilraumtopologie ein Stone-Raum ist. Der Körper der -adischen Zahlen ist lokal Stone, aber nicht Stone. Typische Beispiele für lokale Stone-Räume sind lokal proendliche Gruppen.
Verdichtete Mathematik
Stone-Räume sind die Grundbausteine der verdichteten Mathematik (, deutsch auch ‚kondensierte Mathematik‘ genanntDavide Castelvecchi: Der Umbau der Mathematik mit Computerunterstützung, in: Spektrum Magazin, Oktober 2021, S. 21–22, online vom 15. September 2021). Eine verdichtete Menge ist eine Garbe auf einer Kategorie von Stone-Räumen.Scholze: Def. 1.2, Def. 2.1, Def. 2.11
Einzelnachweise
Literatur
Peter Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982 Stone space in nlab. Peter Scholze und Dustin Clausen: Lectures on Condensed Mathematics Stacks project: Tag 08ZW
Kategorie:Mengentheoretische Topologie