Der Banachsche Abbildungssatz ist ein nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach benannter mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Mengenlehre. Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft von Abbildungen. Er ist eng mit dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem verknüpft.
Formulierung des Satzes Der Satz lässt sich wie folgt formulieren: Gegeben seien Mengen und und dazu Abbildungen und . Dabei sei injektiv.
Dann existieren Mengen mit und sowie und derart, dass gilt: und
Verschärfung Es lässt sich mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski und Knaster zeigen, dass die Behauptung des Satzes immer noch gilt, wenn die Injektivitätsbedingung für die Abbildung fallen gelassen wird.
Der Banachsche Abbildungssatz (verschärfte Version) lautet demnach folgendermaßen: Gegeben seien Mengen und und dazu Abbildungen und .
Dann existieren Mengen mit und sowie und derart, dass gilt: und
Beweis (Verschärfung) Betrachte die Abbildung mit .
Da monoton ist, besitzt nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster einen Fixpunkt . Es gilt also beziehungsweise äquivalent hierzu .
Wir setzen nun , und .
Hiermit erhalten wir wie gewünscht und .
Folgerung Aus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem.
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Kategorie:Satz (Mengenlehre)