mini|Kleeblattschlinge
Die Kleeblattschlinge oder der Kleeblattknoten ist einer der einfachsten Knoten und spielt eine zentrale Rolle in der Knotentheorie. Der Knoten hat seinen Namen wegen seiner Ähnlichkeit zu Kleeblättern.
Parametrisierung und Invarianten Eine einfache Parameterdarstellung der Kleeblattschlinge ist:
Der (2,3)-Torusknoten ist ebenfalls ein Kleeblattknoten. Die folgenden parametrischen Gleichungen ergeben einen (2,3)-Torusknoten, der auf dem Torus liegt:
Die so definierte Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in Zylinderkoordinaten durch definiert ist. Damit ist die Kleeblattschlinge das einfachste Beispiel eines Torusknotens.uni-math.gwdg.de (PDF; 2,2 MB) Knotentheorie. Abgerufen am 3. Mai 2012.
Das Alexander-Polynom der Kleeblattschlinge ist
und ihr Jones-Polynom ist oder
je nachdem, ob sie rechts- oder linkshändig ist.
Die Knotengruppe hat die Präsentierung
und ist damit isomorph zur Zopfgruppe .
Das Knotenkomplement der Kleeblattschlinge ist diffeomorph zu , also dem Quotienten von SL(2,R) nach der Modulgruppe .
Symmetrie Die Kleeblattschlinge ist chiral, d. h., sie ist nicht in ihr Spiegelbild deformierbar. Deshalb existieren zwei nicht ineinander überführbare Formen von Kleeblattschlingen. Diese werden auch rechtshändige und linkshändige Kleeblattschlinge genannt.cut-the-knot.org über Achtknoten. Abgerufen am 3. Mai 2012.
In der Kunst Als einfacher Knoten kommt die Kleeblattschlinge häufig in der bildenden Kunst und der Ikonographie vor. So sind zum Beispiel die Triquetra und die zusammenhängende Form der Valknut Kleeblattschlingen.
Galerie
Literatur Max Dehn: Die beiden Kleeblattschlingen. In: Mathematische Annalen. 102, 1914, S. 402–413 (uni-goettingen.de).
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Knoten und Verschlingungen