Implikation

Die Bezeichnung Implikation (von ; Verb: implizieren; Adjektiv: implizit) wird in der Logik nicht einheitlich für einen bestimmten logischen Zusammenhang verwendet; insbesondere werden unterschieden: eine materiale Implikation als eine von mehreren möglichen logischen Verknüpfungen (Junktoren) zwischen zwei Aussagenvariablen: (siehe auch Artikel „Junktor“). Diese materiale Implikation, auch Subjunktion oder Konditional genannt, kann wahrheitsfunktional definiert werden (siehe Abschnitt unten). Sie findet sich bereits bei Philon von Megara (3. Jh. v. Chr.) und wird umgangssprachlich meist umschrieben mit: „Wenn a, dann b.“Grundriß der formalen Logik. Paderborn: Universitäts-Taschen-Bücher-Verlag: 1983. Aus dem Französischen von Joseph Maria Bocheński. Von Albert Menne übersetzt und erweitert. eine formale Implikation als eine Form logischen Zusammenhangs, welche eher einer intuitiven Anschauung entsprechen soll, die sich aus Gewohnheiten der Umgangssprache ergeben kann. Es entstanden im Laufe der Zeit verschiedene Interpretationen, um das Phänomen möglichst eindeutig zu formalisieren. Dabei wird die obige Formel differenzierter betrachtet, zum Beispiel als , gelesen: „Für jedes Individuum x gilt: Wenn x die Eigenschaft A besitzt, dann besitzt es auch die Eigenschaft B.“ Die Analyse einer Aussage mit Zerlegung in den Prädikator und sein Argument, insbesondere für die formale Implikation, findet sich ähnlich schon bei Platon und Aristoteles.

Als Varianten einer deduktionmäßigen formalen Implikation können auch die intuitionistische Implikation bzw. Subjunktion innerhalb der dialogischen Logik sowie die strenge Implikation von Ackermann und ebenso die strikte Implikation angesehen werden. Von Bruno von Freytag-Löringhoff und Albert Menne wurde die Implikation als hypothetisches Urteil formalisiert.

Diese spezifischeren Deutungen können auch als objektsprachliche Implikationen bezeichnet werden. Davon zu unterscheiden sind dann jeweils die metasprachlichen Implikationen; sie erlauben es, über die logische Struktur dieser Sprachen zu sprechen. Dementsprechend kann ihnen eine noch engere Verbindung zum Ableitbarkeitsbegriff und dem Begriff der Schlussfolgerung zugesprochen werden.

Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Implikation Die objektsprachliche Implikation (materiale Implikation, Konditional, Subjunktion) ist ein Aussagesatz, der mittels des Junktors „(schon) wenn …, dann …“ aus zwei kürzeren Aussagesätzen zusammengesetzt ist. Zum Beispiel ist „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“ eine materiale Implikation; diese Implikation sagt etwas über den logischen Zusammenhang der Sätze, nämlich dass die Wahrheit des ersten Teilsatzes (Antezedens, auch Antecedens) eine hinreichende Bedingung für die Wahrheit des zweiten Teilsatzes (Konsequenz) ist.

Die metasprachliche Implikation ist hingegen eine Aussage über Aussagen, eben eine Metaaussage. Eine metasprachliche Implikation wäre die Aussage „Aus dem Satz ‚Es regnet‘ folgt der Satz ‚Die Straße ist nass‘“. Hier wird nichts über Regen, Nässe oder deren Zusammenhang ausgesagt, sondern hier wird über zwei Sätze der Objektsprache und ihr logisches Verhältnis gesprochen. Dabei kann auf ihre Bedeutung Bezug genommen werden (etwa: ob das, was der eine Satz aussagt, vorliegt, wenn das vorliegt, was der andere aussagt) oder auch nicht, so können zwei Sätze allein durch ihre logische Form miteinander verbunden sein (so kann man zum Beispiel sagen: „Wenn , dann “).

Objektsprachliche Implikationen Die objektsprachliche Implikation, ein Aussagesatz, der mittels des Junktors „(schon) wenn …, dann …“ aus zwei kürzeren Aussagesätzen zusammengesetzt ist, wird als materiale Implikation, Subjunktion und Konditional bezeichnet.

Wahrheitsfunktionale Implikation mini|Die Subjunktion ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Dieser Bereich ist im Venn-Diagramm weiß.Es gilt klassisch 40px|A → B 40px|¬A 40px|B

In der klassischen Logik werden nur wahrheitsfunktionale Aussageverbindungen verwendet, das heißt nur solche, bei denen der Wahrheitswert der Aussagenverknüpfung allein von dem Wahrheitswert der Teilaussagen abhängt. Innerhalb eines Konditionals wird die erste Aussage unter anderem als Vordersatz, Antezedens, Implikans oder Vorderglied bezeichnet, die zweite Aussage unter anderem als Nachsatz, Hintersatz, Konsequenz, Implikat, selten auch Sukzedens.

Seit der Antike wird – erstmals von Philon von Megara – die wahrheitsfunktionale Implikation oder seq-Funktion durch folgende Wahrheitstabelle definiert: ffwfwwwffwww

Diese wahrheitsfunktionale objektsprachliche Implikation wird unter anderem materiale Implikation, Subjunktion oder (zunehmend) Konditional genannt. Sie drückt die hinreichende Bedingung aus, das heißt, sie behauptet keinerlei kausalen oder sonstigen inhaltlichen Zusammenhang zwischen und .

Schon im Altertum wurde diskutiert, inwieweit und unter welchen Voraussetzungen das natürlichsprachliche „wenn …, dann …“ eine hinreichende Bedingung ausdrückt und damit der materialen Implikation entspricht, vor allem aber, ob und wie sich die anderen Bedeutungen des natürlichsprachlichen „wenn …, dann …“, zum Beispiel die kausale („A verursacht B“), analysieren lassen. Versuche, andere Bedeutung als die rein wahrheitsfunktionale („materiale“) Bedeutung des natürlichsprachlichen „wenn …, dann …“ zu analysieren, führen zu nichtklassischen Implikationen, zum Beispiel der strikten Implikation und der intuitionistischen Implikation.

Als Symbol für den Junktor wird in der formalen Sprache der Logik ein einfacher Pfeil , insbesondere im englischsprachigen Bereich in Anlehnung an die Peano-Russellsche Schreibweise auch die Kurve („Hufeisen“, „horseshoe“, „Bogenzeichen“ (Reichenbach)) verwendet, gelegentlich auch der Pfeil mit zwei Querstrichen .

In der polnischen Notation wird für die materiale Implikation der Großbuchstabe C verwendet, sodass die Aussage „Wenn a, dann b“ als Cab geschrieben wird.

Gottlob Frege drückt in seiner Begriffsschrift, der ersten Formalisierung der klassischen Prädikatenlogik, das Konditional „Wenn A, dann B“ durch Datei:Begriffsschrift Cab.svg aus. Schreibweisen

Natürliche Sprache und materiale Implikation

Im Fall der materialen Implikation sagt man oft kurz: „Wenn a, dann b.“ Dieser Sprachgebrauch ist etwas unglücklich, weil die Formulierung „wenn …, dann …“ im Deutschen ein weites Bedeutungsfeld hat und mehrheitlich nicht für materiale, das heißt hier wahrheitsfunktionale, sondern für inhaltliche Zusammenhänge (Kausalität oder zeitliche Abfolge) verwendet wird. Solche Zusammenhänge lassen sich mit der materialen Implikation nicht ausdrücken. Zwischen der materialen Implikation und dem natürlichsprachlichen „wenn …, dann …“ muss daher sehr genau unterschieden werden. Manchmal versucht man, durch Formulierungen wie „Schon wenn a, dann b …“ oder „a ist eine hinreichende Bedingung für b“ Missverständnisse zu vermeiden, die aus den vielen Bedeutungen des deutschen „wenn …, dann …“ resultieren können.

Die Implikation zu (a) „Es regnet“ und (b) „Die Straße wird nass“ ist damit die Aussage Wenn es regnet, wird die Straße nass. Alternative Formulierungen, die den materialen Charakter besser betonen, sind Schon wenn es regnet, wird die Straße nass. oder Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass wird. Die materiale Implikation ist genau dann falsch, wenn das Antezedens wahr ist und das Sukzedens falsch ist. In jedem anderen Fall ist die Implikation wahr. Das Konditional „(w)enn es regnet, wird die Straße nass“ ist also nur dann falsch, wenn es regnet, die Straße aber nicht nass wird.

Die Festlegung, dass eine materiale Implikation nur dann falsch ist, wenn das Antezedens (der Wenn-Teil) wahr und das Sukzedens falsch ist, führt dazu, dass die folgenden Verknüpfungen empirischer Aussagen wahr sind: Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee weiß. falsches Antezedens, wahres SukzedensWenn London in Frankreich liegt, ist Schnee schwarz. falsches Antezedens, falsches SukzedensWenn London in England liegt, ist Schnee weiß. wahres Antezedens, wahres Sukzedens Diese Paradoxien der materialen Implikation unterstreichen den extensionalen Charakter (siehe Junktor) der materialen Implikation: Sie behauptet keinerlei inhaltlichen Zusammenhang zwischen Antezedens (Wenn-Teil) und Sukzedens (es gibt auch tatsächlich keinen Zusammenhang zwischen der geographischen Lage von London und der Farbe von Schnee), vielmehr wird ihr Wahrheitswert rein extensional auf die Wahrheitswerte ihrer Teilsätze zurückgeführt: „Schon wenn das Antezedens wahr ist, ist das Sukzedens auch wahr.“

Zusammenhang mit der notwendigen Bedingung Wie bereits erwähnt, drückt die materiale Implikation die hinreichende Bedingung aus. Von ihr zu unterscheiden ist die notwendige Bedingung, die besagt, dass ein Sachverhalt erforderlich, aber eben nicht ausreichend dafür ist, dass ein anderer Sachverhalt eintritt.

Beispiel „Nur wenn eine Person volljährig ist, darf sie wählen.“ Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung für das Wahlrecht, ist aber nicht ausreichend; man muss in der Regel zusätzliche Bedingungen erfüllen, z. B. die Staatsbürgerschaft des Landes haben.

Die hinreichende und die notwendige Bedingung stehen in engem Zusammenhang. Wenn ein Sachverhalt A eine hinreichende Bedingung für einen Sachverhalt B ist, dann ist B zugleich eine notwendige Bedingung für A. Das Beispiel „Nur wenn eine Person volljährig ist, darf sie wählen“ ist logisch äquivalent mit „Schon wenn eine Person wählen darf, ist sie volljährig.“ Verdeutlichen kann man sich diesen zunächst oft als kontraintuitiv empfundenen Zusammenhang, indem man sich die Situation in einem Wahllokal vor Augen führt. Wenn man dort eine Person wählen sieht, dann kann man – auch wenn sie vielleicht sehr jung aussieht – daraus eindeutig schließen, dass sie volljährig sein muss; denn es dürfen ja nur Volljährige wählen.

Auf Grund dieses inhaltlichen Zusammenhangs drückt die materiale Implikation ebenso die notwendige wie die hinreichende Bedingung aus:

wird zwar gewöhnlich gelesen als „A ist eine hinreichende Bedingung für B“ bzw. „Schon wenn A, dann B“; da das aber äquivalent ist zu „B ist eine notwendige Bedingung für A“, kann man es ebenso gut auf diese Weise lesen.

Eigenschaften und logische Gesetze Die materiale Implikation

ist aussagenlogisch zum Beispiel mit den folgenden Aussagen äquivalent: (lies: „nicht a oder b“). Über diese Äquivalenz kann die materiale Implikation anhand von Disjunktion und Negation definiert werden. (lies: „es gilt nicht: a und nicht b“). Die materiale Implikation kann also ebenfalls anhand von Konjunktion und Negation definiert werden. (lies: „wenn nicht b, dann nicht a“). Man kann also die Implikation umkehren, wenn man dabei gleichzeitig Antezedens und Sukzedens negiert. Dieses logische Gesetz wird auch als Kontraposition bezeichnet.

Außerdem ist die Aussage a äquivalent mit und die Aussage (lies: „nicht a“) ist äquivalent mit , wobei eine beliebige Tautologie und eine beliebige Kontradiktion ist. Ferner sind und äquivalent mit .

Aufgrund ihres extensionalen Charakters eignet sich die materiale Implikation in der Prädikatenlogik gut dazu, Aussagen des Typs „Alle Pferde sind Säugetiere“ wie folgt zu formalisieren: Schreibweise Sprechweise„Für alle x gilt: Wenn x ein Pferd ist, ist x ein Säugetier“

Bezüglich der Eigenschaften der materialen Implikation ist festzuhalten: Sie ist nicht assoziativ, kommutativ, symmetrisch, antisymmetrisch oder asymmetrisch. Sie ist aber transitiv, das heißt, es gilt: aus und folgt Außerdem ist sie reflexiv, es gilt also allgemein:

Mit Hilfe der Implikation und der Negation lassen sich alle aussagenlogischen Junktoren darstellen.

Nichtklassische Implikationen Intuitionistische Implikation