mini|Eine Hierarchie mathematischer Räume: Das Skalarprodukt induziert eine Norm. Die Norm induziert eine Metrik. Die Metrik induziert eine Topologie.

Ein Raum ist in der Mathematik eine Menge mathematischer Objekte mit einer Struktur. Diese kann auf den der abgebildeten Sache zugrundeliegenden Strukturen und/oder einer zusätzlichen mathematischen Struktur beruhen. Als zentrales Beispiel besteht ein Vektorraum aus einer Menge von Objekten, genannt Vektoren, die addiert oder mit einem Skalar (etwa einer Zahl) multipliziert werden können, sodass das Ergebnis wieder ein Vektor desselben Vektorraums ist und das Assoziativ- sowie die Distributivgesetze gelten. Als mathematische Objekte können dabei beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen dienen.

Der Begriff „Raum“ hat sich in der Mathematik im Laufe der Zeit stark gewandelt. Während in der klassischen Mathematik unter Raum der dreidimensionale Anschauungsraum verstanden wird, dessen geometrische Eigenschaften vollständig durch Axiome definiert werden, sind Räume in der modernen Mathematik lediglich abstrakte mathematische Strukturen, die auf unterschiedlichen Konzepten des Begriffs der Dimension basieren und deren Eigenschaften nicht vollständig durch Axiome definiert werden. Einen ähnlichen Wandel hat seit dem 20. Jahrhundert auch der Begriff des Raumes in der Physik erlebt.

Mathematische Räume lassen sich auf verschiedenen Ebenen klassifizieren, etwa nach Vergleichbarkeit, nach Unterscheidbarkeit und nach Isomorphie. Räume bilden oft eine Hierarchie, das heißt, ein Raum erbt alle Eigenschaften eines übergeordneten Raums. Beispielsweise sind alle Skalarprodukträume auch normierte Räume, da das Skalarprodukt eine Norm (die Skalarproduktnorm) auf dem Skalarproduktraum induziert.

Räume werden heute in fast allen Bereichen der Mathematik eingesetzt, so beschäftigt sich etwa die lineare Algebra mit Vektorräumen, die Analysis mit Folgen- und Funktionenräumen, die Geometrie mit affinen und projektiven Räumen, die Topologie mit topologischen und uniformen Räumen, die Funktionalanalysis mit metrischen und normierten Räumen, die Differentialgeometrie mit Mannigfaltigkeiten, die Maßtheorie mit Mess- und Maßräumen und die Stochastik mit Wahrscheinlichkeitsräumen.

Geschichte Vor dem goldenen Zeitalter der Geometrie In der Mathematik des Altertums war der Begriff „Raum“ eine geometrische Abstraktion des im täglichen Leben beobachtbaren dreidimensionalen Raums. Seit Euklid (etwa 300 v. Chr.) sind axiomatische Methoden ein wichtiges Hilfsmittel der mathematischen Forschung. Durch René Descartes wurden 1637 kartesische Koordinaten eingeführt und damit die analytische Geometrie begründet. Zu dieser Zeit wurden geometrische Lehrsätze als absolute Wahrheit angesehen, die durch Intuition und logisches Denken ähnlich wie die Naturgesetze erkannt werden konnten, und Axiome wurden als offensichtliche Folgerungen der Definitionen angesehen.

Zwischen geometrischen Figuren wurden zwei Äquivalenzrelationen verwendet: Kongruenz und Ähnlichkeit. Translationen, Rotationen und Spiegelungen bilden eine Figur in kongruente Figuren ab und Homothetien in ähnliche Figuren. Beispielsweise sind alle Kreise zueinander ähnlich, Ellipsen zu Kreisen jedoch nicht. Eine dritte Äquivalenzrelation, die 1795 in der projektiven Geometrie durch Gaspard Monge eingeführt wurde, entspricht projektiven Transformationen. Unter solchen Transformationen können nicht nur Ellipsen, sondern auch Parabeln und Hyperbeln in Kreise abgebildet werden; im projektiven Sinn sind alle diese Figuren äquivalent.

Diese Bezüge zwischen der euklidischen und der projektiven Geometrie zeigen, dass mathematische Objekte nicht zusammen mit ihrer Struktur gegeben sind. Vielmehr beschreibt jede mathematische Theorie ihre Objekte durch manche ihrer Eigenschaften, und zwar genau diejenigen, die durch Axiome bei der Grundlage der Theorie formuliert wurden. Abstände und Winkel werden in den Axiomen der projektiven Geometrie nicht erwähnt, deshalb können sie in ihren Sätzen nicht auftauchen. Die Frage „was ist die Summe der drei Winkel eines Dreiecks“ hat nur in der euklidischen Geometrie eine Bedeutung, in der projektiven Geometrie ist sie aber gegenstandslos.

Im 19. Jahrhundert trat eine neue Situation auf: in manchen Geometrien ist die Summe der drei Winkel eines Dreiecks wohldefiniert, aber unterschiedlich zum klassischen Wert (180 Grad). In der nichteuklidischen hyperbolischen Geometrie, die 1829 durch Nikolai Lobatschewski und 1832 durch János Bolyai (sowie, unpubliziert, 1816 durch Carl Friedrich Gauß) eingeführt wurde, hängt diese Summe vom Dreieck ab und ist immer kleiner als 180 Grad. Eugenio Beltrami und Felix Klein leiteten 1868 bzw. 1871 euklidische Modelle der hyperbolischen Geometrie her, und rechtfertigten damit diese Theorie. Ein euklidisches Modell einer nichteuklidischen Geometrie ist eine geschickte Wahl von Objekten im euklidischen Raum und Relationen zwischen diesen Objekten, die alle Axiome und damit alle Sätze der nichteuklidischen Geometrie erfüllen. Die Beziehungen dieser ausgewählten Objekte des euklidischen Modells imitieren die nichteuklidischen Beziehungen. Dies zeigt, dass in der Mathematik die Beziehungen zwischen den Objekten, nicht die Objekte selbst, von essenzieller Bedeutung sind.

Diese Entdeckung erzwang die Abkehr vom Anspruch der absoluten Wahrheit der euklidischen Geometrie. Sie zeigte, dass die Axiome weder offensichtlich, noch Folgerungen von Definitionen sind; vielmehr sind sie Hypothesen. Die wichtige physikalische Fragestellung, inwieweit diese der experimentellen Realität entsprechen, hat nichts mehr mit Mathematik zu tun. Selbst wenn eine bestimmte Geometrie nicht mit der experimentellen Realität übereinstimmt, so bleiben ihre Sätze dennoch mathematische Wahrheiten.

Das goldene Zeitalter und danach

Nicolas Bourbaki nennt die Zeit zwischen 1795 (deskriptive Geometrie von Monge) und 1872 (Erlanger Programm von Klein) das „goldene Zeitalter der Geometrie“. Die analytische Geometrie hatte große Fortschritte gemacht und konnte erfolgreich Sätze der klassischen Geometrie durch Rechnungen über Invarianten von Transformationsgruppen ersetzen. Seit dieser Zeit interessieren neue Sätze der klassischen Geometrie eher Amateure als professionelle Mathematiker. Dies bedeutet jedoch nicht, dass das Erbe der klassischen Geometrie verloren ging. Nach Bourbaki wurde „die klassische Geometrie in ihrer Rolle als autonome und lebendige Wissenschaft überholt und in der Folge in eine universelle Sprache der zeitgenössischen Mathematik umgewandelt“.

Bernhard Riemann erklärte 1854 in seinem berühmten Habilitationsvortrag, dass jedes mathematische Objekt, das durch reelle Zahlen parametrisiert werden kann, als Punkt im -dimensionalen Raum aller solchen Objekte angesehen werden kann. Heutzutage folgen Mathematiker routinemäßig dieser Idee und finden es sehr suggestiv, die Terminologie der klassischen Geometrie nahezu überall weiterzuverwenden. Nach Hermann Hankel (1867) soll man, um die Allgemeingültigkeit dieses Ansatzes vollständig zu würdigen, die Mathematik als „reine Theorie der Formen, deren Zweck nicht die Kombination von Größen oder ihrer Bilder, der Zahlen, sondern von Gedankenobjekten ist“ ansehen.

Ein Objekt, das durch komplexe Zahlen parametrisiert wird, kann als Punkt eines -dimensionalen komplexen Raums betrachtet werden. Das gleiche Objekt kann jedoch auch durch reelle Zahlen (die Real- und Imaginärteile der komplexen Zahlen) parametrisiert werden und daher als Punkt im -dimensionalen Raum angesehen werden. Die komplexe Dimension unterscheidet sich also von der reellen Dimension. Das Konzept von Dimension ist jedoch noch erheblich vielschichtiger. Das algebraische Konzept von Dimension bezieht sich auf Vektorräume, das topologische Konzept von Dimension auf topologische Räume. Für metrische Räume gibt es auch die Hausdorff-Dimension, die speziell für Fraktale nicht-ganzzahlig sein kann. Funktionenräume sind üblicherweise unendlichdimensional, wie bereits Riemann feststellte. Manche Räume, beispielsweise Maßräume, erlauben überhaupt kein Konzept einer Dimension.

Der ursprünglich von Euklid untersuchte Raum heißt heute dreidimensionaler euklidischer Raum. Seine Axiomatisierung, begonnen von Euklid vor 23 Jahrhunderten, wurde im 20. Jahrhundert durch David Hilbert, Alfred Tarski und George Birkhoff abgeschlossen. Hilberts Axiomensystem beschreibt den Raum über nicht genauer definierte Primitive (wie „Punkt“, „zwischen“ oder „kongruent“), deren Eigenschaften durch eine Reihe von Axiomen eingegrenzt werden. Eine solche Definition von Grund auf ist heutzutage nur von geringem Nutzen, da sie nicht den Bezug dieses Raumes zu anderen Räumen aufzeigt. Der moderne Zugang definiert den dreidimensionalen euklidischen Raum eher algebraisch über Vektorräume und quadratische Formen als affinen Raum, dessen Differenzraum ein dreidimensionaler Skalarproduktraum ist.

Ein Raum besteht heute aus ausgewählten mathematischen Objekten (beispielsweise Funktionen zwischen anderen Räumen, Teilräume eines anderen Raums, oder auch nur den Elementen einer Menge), die als Punkte behandelt werden, sowie aus bestimmten Verknüpfungen zwischen diesen Punkten. Dies zeigt, dass Räume lediglich abstrakte mathematische Strukturen sind.

Systematik

Klassifikation

Räume können auf drei Ebenen klassifiziert werden. Nachdem jede mathematische Theorie ihre Objekte lediglich durch manche ihrer Eigenschaften definiert, ist die erste Frage, die man sich stellt: welche Eigenschaften?

Die höchste Ebene der Klassifikation unterscheidet Räume unterschiedlichen Typs. Beispielsweise sind euklidische und projektive Räume von unterschiedlichem Typ, nachdem der Abstand zweier Punkte in euklidischen Räumen definiert ist, in projektiven Räumen jedoch nicht. Als weiteres Beispiel ergibt die Frage „was ist die Summe der drei Winkel eines Dreiecks“ nur in einem euklidischen Raum, nicht aber in einem projektiven Raum einen Sinn. In nichteuklidischen Räumen ergibt diese Frage einen Sinn und wird nur anders beantwortet, was keine Unterscheidung auf höchster Ebene darstellt. Weiterhin ist die Unterscheidung zwischen einer euklidischen Ebene und einem dreidimensionalen euklidischen Raum keine Unterscheidung auf höchster Ebene, da die Frage „was ist die Dimension“ in beiden Fällen einen Sinn ergibt.

Auf der zweiten Ebene der Klassifikation betrachtet man Antworten auf besonders wichtige Fragen, unter denjenigen, die auf der höchsten Ebene einen Sinn ergeben. Beispielsweise unterscheidet diese Ebene zwischen euklidischen und nichteuklidischen Räumen, zwischen endlichdimensionalen und unendlichdimensionalen Räumen, zwischen kompakten und nichtkompakten Räumen usw.

Auf der dritten Ebene der Klassifikation werden Antworten auf unterschiedlichste Fragen, die auf der höchsten Ebene einen Sinn ergeben, betrachtet. Beispielsweise unterscheidet diese Ebene zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension, nicht aber zwischen einer Ebene des dreidimensionalen euklidischen Raums behandelt als zweidimensionaler euklidischer Raum und der Menge aller Paare reeller Zahlen ebenfalls behandelt als zweidimensionaler euklidischer Raum. Ebenso unterscheidet sie nicht zwischen verschiedenen euklidischen Modellen des gleichen nichteuklidischen Raums. Formaler klassifiziert die dritte Ebene Räume bis auf Isomorphie. Ein Isomorphismus zwischen zwei Räumen ist eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Punkten des ersten Raums und den Punkten des zweiten Raums, die alle Beziehungen zwischen den Punkten erhält. Wechselseitig isomorphe Räume werden als Kopien desselben Raums angesehen.