Zahlenpalindrome bzw. Palindromzahlen sind natürliche Zahlen, deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen den gleichen Wert hat, z. B. 1331 oder 742247, aber auch 21 zur Basis 2 (=10101). Manchmal wird auch die allgemeine Schreibweise a1a2a3 ...|... a3a2a1 für Zahlen mit der Basis verwendet.
Der Begriff Palindrom wurde in die Zahlentheorie, einem Teilbereich der Mathematik, aus der Sprachwissenschaft übernommen.
Palindrome im Dezimalsystem Alle Zahlen des Dezimalsystems mit nur einer Ziffer sind Palindromzahlen.
Es gibt neun zweistellige Palindromzahlen: {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} Es gibt 90 dreistellige Palindromzahlen: {101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292, 303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393, 404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494, 505, 515, 525, 535, 545, 555, 565, 575, 585, 595, 606, 616, 626, 636, 646, 656, 666, 676, 686, 696, 707, 717, 727, 737, 747, 757, 767, 777, 787, 797, 808, 818, 828, 838, 848, 858, 868, 878, 888, 898, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999} sowie ebenfalls 90 vierstellige Palindromzahlen: {1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, 2002, 2112, 2222, 2332, 2442, 2552, 2662, 2772, 2882, 2992, 3003, 3113, 3223, 3333, 3443, 3553, 3663, 3773, 3883, 3993, 4004, 4114, 4224, 4334, 4444, 4554, 4664, 4774, 4884, 4994, 5005, 5115, 5225, 5335, 5445, 5555, 5665, 5775, 5885, 5995, 6006, 6116, 6226, 6336, 6446, 6556, 6666, 6776, 6886, 6996, 7007, 7117, 7227, 7337, 7447, 7557, 7667, 7777, 7887, 7997, 8008, 8118, 8228, 8338, 8448, 8558, 8668, 8778, 8888, 8998, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999} Damit gibt es unter 104 (also 10.000) genau 9 + 9 + 90 + 90 = 198 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 105 (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10n folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für n = 6), 10998 (für n = 7 usw.), 19998, 109998, 199998, 1099998, … (OEIS, A050250).
Des Weiteren hat jede ganze Zahl, die nicht durch 10 teilbar ist, ein positives Vielfaches, das ein Dezimalpalindrom ist, was in einer Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik 2009 zu beweisen war.
Aus den Teilbarkeitsregeln ergibt sich außerdem, dass alle Zahlenpalindrome mit gerader Stellenzahl durch 11 teilbar sind.
Erzeugung von Zahlenpalindromen Quadrieren von 1-er Zahlen Im Dezimalsystem erhält man durch
Palindromzahlen, wobei n die Kurzschreibweise für die n-fache Wiederholung der 1 ist und n von 1 bis 9 reicht.
+ 1 * 1 = 1 11 * 11 = 121 111 * 111 = 12321 1111 * 1111 = 1234321 11111 * 11111 = 123454321 111111 * 111111 = 12345654321 1111111 * 1111111 = 1234567654321 11111111 * 11111111 = 123456787654321 111111111 * 111111111 = 12345678987654321
Umkehrung und Addition Eine weitere Möglichkeit ist das iterative Schema, bei dem eine beliebige positive Zahl (die nicht selber schon ein Palindrom ist) bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden Algorithmus gedreht wird:
Drehe die Zahl um (z. B. 84 zu 48), d. h. erstelle die Spiegelzahl Addiere die umgedrehte Zahl zu ihrer Ausgangszahl (48 + 84 = 132) Drehe die neu entstandene Zahl erneut um (132 zu 231) Addiere erneut beide Zahlen (132 + 231 = 363)
Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten ein Zahlenpalindrom. Allerdings existieren auch Zahlen, die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist. Solche Zahlen nennt man Lychrel-Zahlen; die bekannteste Lychrel-Zahl ist 196. Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196-Algorithmus.
Palindrome bei Transformation des Zahlensystems Zahlenpalindrome können auch bei der Transformation von Dezimalzahlen in ein anderes Zahlensystem entstehen.
Die folgende Tabelle listet alle Zahlenpalindrome auf (für Zahlen von 10 bis 107), die sich bei der Transformation vom Dezimalsystem in das jeweilige Zahlensystem ergeben.
Basis Dezimalzahl Zahl in anderem Zahlensystem 4 13 31 7 23 32 46 64 2116 6112 15.226 62.251 8 (oktal) 1.527.465 5.647.251 9 445 544 313.725 527.313 3.454.446 6.444.543 12 (duodezimal) 315.231 132.513 13 43 34 86 68 774 477 14 834 438 16 (hexadezimal) 53 35 371 173 5141 1415 99.481 18.499 19 21 12 42 24 63 36 84 48 441 144 882 288 7721 1277 9471 1749 21 551 155 912 219 22 73 37 511 115 25 83 38 28 31 13 62 26 93 39 961 169 37 41 14 82 28 46 51 15 55 61 16 64 71 17 73 81 18 82 91 19
Summe von Zahlenpalindromen In einem Aufsatz von 2018 wurde gezeigt, dass jede positive ganze Zahl als Summe von drei Zahlenpalindromen geschrieben werden kann, unabhängig vom verwendeten Zahlensystem mit der Basis 5 oder größer. Javier Cilleruelo, Florian Luca, Lewis Baxter: Every positive integer is a sum of three palindromes In: Mathematics of Computation (arXiv Preprint)
Zahlen und Zahlwörter Joel David Hamkins bemerkt in seinen „Vorlesungen über die Philosophie der Mathematik“ (engl. Lectures on the Philosophy of Mathematics), dass palindrome Zahlen im Gegensatz zu Dreiecks- oder Rechteckszahlen keine Eigenschaften von Zahlen, sondern von Zahlwörtern beschreiben. Einige Mathematiker, so Hamkins, halten daher das Konzept für unnatürlich oder laienhaft. So ist beispielsweise die Zahl 27 im Dezimalsystem kein Palindrom, in Binärform 11011 aber schon, in römischer Zahlschrift XXVII wieder nicht. Die Frage, ob eine Zahl ein Palindrom ist, hängt von der Basis ab, in der sie dargestellt wird. Jede Zahl ist in einer Basis ein Palindrom, da sie dann zu einer einzigen Ziffer, sprich einem Palindrom würde.
Siehe auch Zyklische Zahl Mirpzahl Primzahlpalindrom Palindromtag Streng nicht-palindromische Zahl
Literatur Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers. CRC Press, 1986, ISBN 0-85274-495-1, S. 61 (eingeschränkt (Google Books))
Weblinks
Palindromzahlen in adischen Zahlensystemen Zahlen-Palindrome (interaktiv) Zahlen-Palindrome
James Grime (Numberphile): , 17. September 2018 (englisch). sciencenotes.de: Das Rätsel um die 196: Wie lässt sich etwas beweisen, das vielleicht nicht existiert?
Einzelnachweise
Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Unterhaltungsmathematik Kategorie:Palindrom
pl:Palindrom#Palindromy liczbowe