hochkant=1.3|mini|Veranschaulichung der ersten binomischen Formel mit einem Quadrat der Seitenlänge Ein häufig gemachter Fehler ist, die Rechtecke mit den Flächen (hier in hellgrün) zu ignorieren. Erst unter deren Beachtung ergibt sich korrekt
also zum Beispiel:
Die binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Mit Binomen (deutsch: „zwei Namen“; eine Bezeichnung, die auf Euklid zurückgeht) sind mathematische Ausdrücke mit zwei Gliedern gemeint, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind, wie zum Beispiel oder auch (mit zwei noch nicht näher bestimmten Zahlen und ).
In einigen Anwendungen ist das Rechnen mit quadrierten Binomen vonnöten: Zerteilt man in der Geometrie zum Beispiel die Seite eines Quadrates in die Längen und so hat es den Flächeninhalt (siehe Bild). Es bedeutet die Schreibweise (gesprochen: „ Quadrat“), dass die Zahl mit sich selbst multipliziert wird, also Zum Beispiel gilt .
Innerhalb der Schulmathematik kommt den binomischen Formeln ein hoher Stellenwert zu, und sie sind fester Bestandteil des Lehrplans im Fach Mathematik. Dabei werden drei binomische Formeln unterschieden:
erste binomische Formel, zweite binomische Formel, dritte binomische Formel.
Gerade beim Quadrieren von Summen passieren häufig Fehler: So ist das „Quadrat einer Summe“, also zum Beispiel im AllgemeinenDie einzigen Ausnahmen betreffen die Fälle, in denen mindestens ein Summand gleich Null ist. nicht die „Summe der Quadrate“, hier Da Klammern stets zuerst aufgelöst werden müssen, gilt aber falsch wäre eine Gleichsetzung mit
Die binomischen Formeln halten nun Rechenregeln fest, mit deren Hilfe zum Beispiel der Ausdruck korrekt „in Abhängigkeit von und “, also der zwei Glieder des Binoms, berechnet werden kann, insbesondere unter Beachtung aller Regeln für Klammerausdrücke. Diese Regeln entfalten ganz besonders dann ihren Sinn, wenn nicht alle Teile des Binoms bestimmt sind, zum Beispiel , aber trotzdem eine Berechnung bzw. Umformung gemacht werden soll. Vorteile hat dies zum Beispiel beim Umgang mit quadratischen Gleichungen. Weitere Anwendungen betreffen quadratische Ergänzung, einen Beweis des Satzes des Pythagoras, aber auch Bereiche wie Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Die binomischen Formeln werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern und Rechenfehler verhindern sollen, zum anderen erlauben sie die Faktorisierung von Termen, also die Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte, was bei der Vereinfachung von Bruchtermen oder Wurzeltermen sehr oft die einzige Lösungsstrategie darstellt. Im Grunde sind sie nur Anwendungen des Distributivgesetzes für algebraische Summen (jedes Glied der einen wird mit jedem der anderen Summe multipliziert)
mit und den entsprechenden Vorzeichenvarianten. Erstmals bewiesen wurden die binomischen Formeln von Euklid, der geometrische Methoden verwendete. Sie waren aber den Babyloniern bereits 1900 v. Chr. bekannt.
Eine Verallgemeinerung der ersten binomischen Formel auf beliebige natürliche Exponenten, wie usw., stellt der binomische Lehrsatz dar. Die binomischen Formeln gelten in allen kommutativen Ringen (allgemeine Mengen, innerhalb derer mit Addition, Subtraktion und Multiplikation gerechnet werden kann, wie etwa die ganzen Zahlen).
Die Formeln Aussage der Formeln
Als binomische Formeln werden (im Rahmen der Schulmathematik)Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 1. Heidelberg 2017, S. 224.Dirk Langemann, Vanessa Sommer: So einfach ist Mathematik. Berlin 2018, S. 31. üblicherweise die folgenden drei Umformungen mit dem Exponenten 2 bezeichnet:Thomas Rießinger: Gleichungen, Umformungen, Terme. Berlin/Heidelberg 2016, S. 66. erste binomische Formel, zweite binomische Formel, dritte binomische Formel.
Es werden die Terme und quadratische Glieder und gemischtes Glied genannt.Andreas Pallack (Hrsg.): Fundamente der Mathematik. Berlin 2016, S. 22. Zu beachten ist die übliche Kurzschreibweise für das Produkt Das Wort „binomisch“ rührt vom Begriff Binom her und bedeutet, dass es sich um Berechnungen mit Termen mit zwei Gliedern (= Zahlen oder Unbekannte) handelt, wobei diese Glieder miteinander addiert oder subtrahiert werden.Albrecht Beutelspacher: Albrecht Beutelspachers Kleines Mathematikum. Die 101 wichtigsten Fragen und Antworten zur Mathematik. München 2011, S. 96.
Die binomischen Formeln halten bestimmte Rechengesetze in größtmöglicher Allgemeinheit fest. Daher werden Zahlen hier (willkürlich) durch die Buchstaben und ersetzt. Die Absicht dahinter ist, eine möglichst große Bandbreite an Anwendungen zu gewährleisten, denn mit unterschiedlichen Anwendungen können immer auch unterschiedliche Zahlen verbunden sein. Ein besseres Gefühl und Verständnis kann beim Üben an konkreten Zahlen erreicht werden. Eine Anwendung der zweiten binomischen Formel ist etwa (mit und )
In der Tat gilt da Klammerinhalte zuerst berechnet werden müssen.
Herleitung mini|hochkant=1.35|Illustration des Distributivgesetzes mit Hilfe von Rechtecksflächen
Die Gültigkeit der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:
Sie sind damit nur Anwendungen des Distributivgesetzes für algebraische Summen. Jedes Glied der einen wird dabei mit jedem der anderen Summe multipliziert:
mit und den entsprechenden Vorzeichenvarianten.
Nachbemerkungen
Obwohl die zweite binomische Formel als eigenständige Formel geführt wird, ergibt sie sich unmittelbar aus der ersten binomischen Formel „angewendet auf und “. Es gilt mit der ersten binomischen Formel
Wegen des Kommutativgesetzes ist das Vertauschen von Faktoren in Produkten erlaubt. Daher spielt es für die dritte binomische Formel keine Rolle, wann die Terme auftauchen. Es gilt
Bei den binomischen Formeln handelt es sich um Identitäten; die Gleichheit beider Ausdrücke auf der linken und rechten Seite des Gleichheitszeichens ist also für jede Auswahl von Zahlen oder Unbekannten gegeben. Im Gegensatz dazu müssen andere Formen von Gleichungen oft aufgelöst werden und nur eine eingeschränkte Menge an Zahlen werden diese lösen. Zur Betonung der universellen Gültigkeit kann daher auch das Symbol genutzt werden, zum Beispiel
Die Wahl der Buchstaben und ist entsprechend willkürlich; es handelt sich nur um Platzhalter für Zahlen, deren genaue Benennung keinen Einfluss auf die Formeln hat. Die einzige Ausnahme hiervon ist, dass im Allgemeinen verschiedene Größen ungleich benannt werden sollten. So kann die erste binomische Formel auch durch ausgedrückt werden, aber theoretisch auch durch Ungünstig hingegen ist die Bezeichnung da dies nur ein Spezialfall der allgemeinen Formel ist (da sie Fälle wie und behandelt, nicht aber ).
Im Gegensatz zu Adjektiven wie abelsch leitet sich binomisch nicht vom Namen eines Mathematikers ab. Im Sinne des wissenschaftlichen Witzes wird die Bezeichnung binomisch scherzhaft auf einen fiktiven Mathematiker namens Alessandro (oder Francesco) Binomi zurückgeführt, der wahlweise auch in einigen Schul- und Lehrbüchern als deren Urheber auftaucht.Heinrich Zankl: Irrwitziges aus der Wissenschaft. Weinheim 2012, Kapitel Klangvolle Namen ()Thomas Rießinger: Gleichungen, Umformungen, Terme. Berlin/Heidelberg 2016, S. 70.
Geometrische Veranschaulichung mini|Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seitenlängen.
Es ist üblich und gut möglich, die binomischen Formeln – etwa im Rahmen des Schulunterrichts – geometrisch zu veranschaulichen. Dafür eignen sich die unten gezeigten Situationen aus der elementaren Geometrie.Felicitas Pielsticker: Mathematische Wissensentwicklungsprozesse von Schülerinnen und Schülern. Wiesbaden 2020, S. 116–128.Andreas Pallack (Hrsg.): Fundamente der Mathematik. Berlin 2016, S. 24–25. Als Vorwissen muss bekannt sein, dass sich der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen und über berechnet.
Erste binomische Formel: 180px|links|Veranschaulichung der ersten binomischen Formel mit einem Quadrat der Seitenlänge a+b Das nebenstehende mehrfarbige Quadrat hat die Seitenlänge Wie sofort ersichtlich ist, passen die zwei Quadrate und hinein, und es bleiben zwei Rechtecke mit jeweils dem Flächeninhalt übrig. Die Fläche des ganzen Quadrats hat also den Wert
Dadurch ergibt sich Willy Bennewitz, Fritz Warnecke, Günther Dross: Lehr- und Übungsbuch der Mathematik für Ingenieur- und Fachschulen. Band 1, Frankfurt am Main / Zürich 1963, S. 34.Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte – Babylonische Algebra. Berlin 2022, S. 30.
Zweite binomische Formel: 180px|links|Veranschaulichung der zweiten binomischen Formel mit einem Quadrat der Seitenlänge a−b Im zweiten Bild ist das blau umrahmte Quadrat (großes Quadrat, also, trotz gleicher Bezeichnung wie in der ersten binomischen Formel, ein anderes Quadrat!). Soll daraus ein Quadrat der Seitenlänge erzeugt werden, wird zuerst die rot umrahmte Fläche (das Rechteck) abgezogen (auch wieder, trotz gleicher Bezeichnung wie in der ersten binomischen Formel, ein anderes Rechteck). Danach wird die ebenso große, liegende Fläche abgezogen. Nun hat man aber das kleine Quadrat doppelt abgezogen, man muss es (zur Korrektur) noch einmal addieren.
Die hier gezeigte Formel lautet also
Dritte binomische Formel: 180px|links|Veranschaulichung der dritten binomischen Formel mit Rechtecken der Seitenlängen a+b und a−b Im dritten Bild ist das hell- und dunkelblaue Quadrat. Wird das kleine Quadrat (gelber Rahmen) davon abgezogen und das verbleibende hellblaue Rechteck gedreht unten angehängt (türkis dargestellt), so entsteht (aus der dunkelblauen und türkisfarbenen Fläche) ein Rechteck der Breite und der Höhe
Also ergibt sich die Formel Willy Bennewitz, Fritz Warnecke, Günther Dross: Lehr- und Übungsbuch der Mathematik für Ingenieur- und Fachschulen. Band 1, Frankfurt am Main / Zürich 1963, S. 35.
Eine weitere Veranschaulichung der dritten binomischen Formel erhält man durch folgende Zerlegung:
Zu beachten ist, dass diese Veranschaulichungen zunächst im Allgemeinen nur für Werte funktionieren. Die Gültigkeit der Formeln bleibt aber auch etwa im Falle negativer Zahlen bestehen, was sich aus dem Distributivgesetz und damit letztlich den axiomatischen Rechenregeln in den reellen Zahlen, ergibt.
Geschichte
Die Entdeckungs- und Forschungsgeschichte der binomischen Formeln lässt sich bis auf 1900 v. Chr. in das babylonische Reich zurückdatieren. Einen ersten Beweis, basierend auf geometrischen Argumenten, konnte jedoch erst Euklid von Alexandria in seinen Elementen erbringen. Wegen der engen Verknüpfung zur Geometrie von Flächen war es Euklid naturgemäß nicht möglich, dies auf höhere Exponenten zu verallgemeinern. Eine kubische Variante der ersten binomischen Formel wurde einige Jahrhunderte später in Indien unter anderem durch Brahmagupta gegeben. In der moderneren Forschung sind die binomischen Formeln jedoch unzertrennlich mit ihren Verallgemeinerungen auf höhere Exponenten – also dem binomischen Lehrsatz – verbunden, weshalb diese Abgrenzung heutzutage nur noch im Rahmen der Schulmathematik üblich ist.
Bei den Babyloniern
Nach heutigem Forschungsstand waren die erste und dritte binomische Formel wesentliche Inhalte der Algebra in Mesopotamien im Zeitraum 1900 bis 1600 v. Chr.H.-W. Alten, A. Djafari Naini, B. Eick, M. Folkerts, H. Schlosser, K.-H. Schlote, H. Wesemüller-Kock, H. Wußing: 4000 Jahre Algebra. Berlin/Heidelberg 2014, S. 43.