Induktivität ist eine Eigenschaft elektrischer Stromkreise oder Bauelemente, insbesondere von Spulen. Auf ihr beruht der Vorgang der Induktion, der eine Wechselwirkung zwischen Magnetismus und Elektrizität darstellt. Es ist zu unterscheiden zwischen Selbstinduktivität (auch Eigeninduktivität oder Selbstinduktion genannt) und Gegeninduktivität; mit „Induktivität“ ohne Zusatz ist fast immer die Selbstinduktivität gemeint. Die Selbstinduktivität eines Stromkreises setzt die zeitliche Änderungsrate des elektrischen Stroms mit der elektrischen Spannung in Beziehung: .
Das Formelzeichen der Selbstinduktivität ist . Es wurde zu Ehren von Emil Lenz gewählt, dessen theoretische Arbeiten zur elektromagnetischen Induktion grundlegend waren. Die Maßeinheit der Selbstinduktivität im SI-Einheitensystem ist das Henry, benannt nach dem US-amerikanischen Physiker Joseph Henry.
Im wichtigen Fall einer Drahtschleife oder Spule kann man die Beziehung zwischen Spannung und zeitlich veränderlichem Strom unmittelbar mit Ampèreschem Gesetz und Induktionsgesetz verstehen: Ein elektrischer Strom erzeugt, wie vom Ampèreschen Gesetz beschrieben, ein Magnetfeld. Die zeitliche Änderung des Magnetfeldes „induziert“, wie vom Induktionsgesetz beschrieben, im selben Stromkreis eine elektrische Spannung. Beide Effekte sind proportional zur Zahl der Windungen , die Selbstinduktivität einer Spule ist daher proportional zu .
Stromänderungen in einem Stromkreis induzieren aber auch Spannungen in anderen in der Nähe befindlichen Stromkreisen . Diese „wechselseitige Induktion“ oder Gegeninduktion beschreibt man mit Koeffizienten der wechselseitigen Induktivität.
Selbst- und wechselseitige Induktion und die entsprechenden Induktivitäten spielen eine wichtige Rolle in Transformatoren, Elektromotoren und der Elektronik.
Gültigkeitsbereich Die erste Voraussetzung für die Gültigkeit der Gleichung ist, dass das Magnetfeld „quasistatisch“ vom elektrischen Strom erzeugt wird. Es darf keine Phasenunterschiede zwischen Magnetfeld und Strom und keine Abstrahlung elektromagnetischer Wellen geben, d. h., die Frequenzen müssen hinreichend klein sein.
Ferner muss die Stromverteilung frequenzunabhängig sein. Das ist der Fall bei kleinen Frequenzen, bei denen die Stromdichte über den Leiterquerschnitt konstant ist, sowie bei hohen Frequenzen bei vollständigem Skineffekt, wo der Strom in der Leiteroberfläche fließt (wie bei Supraleitern). Bei Frequenzen mit partiellem Skineffekt ist die Induktivität frequenzabhängig. Im Fall dünner Leiter macht es allerdings wenig Unterschied, ob der Strom im Leiterquerschnitt oder in der Leiteroberfläche fließt – die Frequenzabhängigkeit ist klein.
Schließlich wird noch vorausgesetzt, dass im Bereich der Magnetfelder befindliche magnetisierbare Materialien konstante Permeabilitätszahlen haben. Andernfalls liegt nichtlineare Induktivität vor.
In diesem Rahmen jedoch gilt die Beziehung für Leiterschleifen mit beliebig ausgedehnten Leitern, und die Induktivitäten sind allein durch die Anordnung und Ausdehnung der elektrischen Leiter und magnetisierbaren Materialien bestimmt.
Induktion in der Elektrotechnik mini|Animation eines Gleichstromkreises: Nach dem Schließen des Tasters leuchtet S1 sofort auf, während sich die Helligkeit von S2 aufgrund der dem Stromfluss entgegenwirkenden Selbstinduktion der Spule L nur allmählich erhöht.Nach dem Öffnen des Tasters bewirkt die Selbstinduktion der Spule L, dass diese vorübergehend die Rolle der Spannungsquelle übernimmt. Im durch L, S2 und S1 gebildeten Stromkreis bleibt der Strom durch S2 kurzzeitig erhalten, während der Strom durch S1 die Richtung ändert. Beide Lampen verlieren gleichmäßig an Helligkeit, bis sie erlöschen. mini|Stromfluss durch Lampen S1 und S2 sowie die an der Spule L anliegende Spannung U2 im zeitlichen Verlauf. Die feinen, schräg verlaufenden Geraden veranschaulichen die Zeitkonstanten 1 und 2.
Für Leiterschleifen wird die Induktivität in der Elektrotechnik oft definiert durch den von der Leiterschleife umfassten verketteten magnetischen Fluss gemäß .
Umfasst der Leiter den gleichen magnetischen Fluss mehrfach, z. B. alle Windungen einer Spule mit gleicher Größe, ergibt sich für den verketteten magnetischen Fluss der Spezialfall und die Selbstinduktivität zu .
Wenn ausschließlich magnetische Stoffe mit einer konstanten Permeabilitätszahl in der Umgebung des Stromkreises vorhanden sind, dann folgt aus dem Durchflutungsgesetz, dass die magnetische Flussdichte dem Strom in einer Leiterschleife proportional ist. Daher ist auch der insgesamt vom Strom erzeugte magnetische Fluss direkt proportional dem Momentanwert der Stromstärke . Der dabei auftretende Proportionalitätsfaktor bei Windungen ist die Selbstinduktivität L .
Weisen jedoch die magnetischen Stoffe wie Eisen in der Nähe des elektrischen Leiters keine konstante Permeabilitätszahl μr auf (diese ist beispielsweise von der magnetischen Flussdichte abhängig), dann ist die Induktivität kein konstanter Proportionalitätsfaktor, sondern eine Funktion der magnetischen Flussdichte. Es gibt dann eine Sättigungsmagnetisierung. Die sich ergebenden nichtlinearen Induktivitäten sind analytisch wesentlich schwieriger zu behandeln.
Wird eine nichtlineare Induktivität um einen Arbeitspunkt herum ausgesteuert, so kann die Änderung des verketteten Flusses in Bezug zur Änderung des Stroms vom Wert der statischen Induktivität abweichen. Für infinitesimal kleine Änderungen um den Arbeitspunkt ergibt sich aus dem Anstieg der Tangente an die Kurve die dynamische Induktivität .
Maßeinheiten Internationales Einheitensystem (SI) Die SI-Einheit der Induktivität ist das Henry. Eine Induktivität von 1 H liegt vor, wenn bei gleichförmiger Stromänderung von 1 Ampere je Sekunde eine Selbstinduktionsspannung von 1 Volt entlang des Leiters entsteht.
Veraltete Einheit Bis Mitte des 20. Jahrhunderts wurde die Induktivität von Spulen manchmal mit der Einheit cm bzw. Quadrant beschriftet. Diese Angabe in Zentimetern rührt daher, dass die Induktivität im heute praktisch kaum noch gebrauchten elektromagnetischen CGS-Einheitensystem (EMU) in der Längendimension ausgedrückt wurde. Der Name Quadrant kommt daher, dass 109 EMU gleich 1 Henry ist, was wiederum der Länge in cm eines Erdquadranten entspricht.Gustav Benischke: Die wissenschaftlichen Grundlagen der Elektrotechnik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1907, S. 570.
Eine Induktivität von 1 cm in elektromagnetischen CGS-Einheiten entspricht 1 nH in SI-Einheiten.
Mathematische Herleitung Dem Induktionsgesetz entsprechend ergibt sich die Umlaufspannung ui einer ruhenden um den magnetischen Fluss geführten Schleife aus der zeitlichen Änderungsrate des durch diese Schleife hindurchtretenden magnetischen Flusses bzw. aus der induzierten elektrischen Feldstärke Ei entlang der Schleife: .
Wenn die Leiterschleife den magnetischen Fluss N-fach umschlingt, wie es beispielsweise bei einer Spule der Fall ist, gilt näherungsweise: .
Das dabei auftretende negative Vorzeichen entspricht der Lenzschen Regel: die induzierte Spannung versucht einen Strom hervorzurufen, der der ursprünglichen Stromänderung entgegenwirkt. Werden Strom und Spannung für die Induktivität als passives Bauelement in die gleiche Richtung definiert, ergibt sich für u: . Mit der obigen Definition der Induktivität lässt sich die Beziehung von der Klemmenspannung u als Funktion des Stromes i als Differentialgleichung ausdrücken:
In den meisten Fällen ändert sich die Induktivität nicht zeitlich und die Strom-Spannungs-Beziehung an der Induktivität kann angegeben werden zu
Der dabei auftretende magnetische Fluss ist jener Fluss, der erst aufgrund des Stroms i durch die Leiterschleifen erzeugt wird. Eine Änderung dieses Flusses induziert in jeder der N Leiterschleifen eine Spannung und wird damit als verketteter magnetischer Fluss wirksam. Weitere externe magnetische Flüsse durch die Leiterschleifen sind in diesem Fall als nicht vorhanden angenommen bzw. zeitlich konstant. Die Spannung u nennt man die bei Selbstinduktion auftretende Klemmenspannung.
mini|Verbraucherzählpfeilsystem Das Vorzeichen in obiger Gleichung ist abhängig von der Zählrichtung von Strom und Spannung. Stimmt die Richtung der Spannung u mit der Richtung des Stromes entlang der Leiterschleife überein, wie in nebenstehender Grafik dargestellt, spricht man vom so genannten Verbraucherzählsystem, und es gilt: .
Sind die Richtungen von Spannung u Strom i entlang der Leiterschleife entgegengesetzt gerichtet, spricht man vom so genannten Erzeugerzählpfeilsystem, und es gilt: .
Man bezeichnet diesen bei Stromänderung entstehenden Spannungsabfall u dann als Selbstinduktionsspannung oder induktiven Spannungsabfall. Die obige Differentialgleichung ist die Elementgleichung, mit der sich lineare Induktivitäten, wie beispielsweise Spulen in elektrischen Schaltungen, beschreiben lassen.
Netzwerkmodell Ausgehend vom Induktionsgesetz, erzeugen extern einwirkende, zeitlich veränderliche magnetische Flüsse in zeitlich konstanten Leiterschleifen zeitlich veränderliche elektrische Spannungen. Aber auch der magnetische Fluss, der durch einen Strom durch die Spule selbst entsteht, wirkt auf die Spule ein. Ändert sich die Stromstärke durch die Spule, so ändert sich das von ihr selbst erzeugte Magnetfeld und induziert dadurch in der Spule selbst eine Spannung, die der Stromstärkeänderung entgegengerichtet ist. Dieser Effekt wird als Selbstinduktion bezeichnet. Je schneller und stärker sich das Magnetfeld ändert, desto höher ist die erzeugte Induktionsspannung. Grundsätzlich kann die Selbstinduktion vollständig durch das Induktionsgesetz beschrieben werden und erfordert keine formalen Ergänzungen oder Anpassungen.
Allerdings kommt es bei der in Elektrotechnik üblichen Netzwerktheorie, welche beispielsweise zur Beschreibung von elektrischen Maschinen wie Transformatoren Verwendung findet, unter Umständen zu Verständnisschwierigkeiten, da die Netzwerktheorie keine Feldgrößen wie den magnetischen Fluss kennt.
mini|Selbstinduktionseffekt, dargestellt als selbstinduzierte Quellenspannung mini|Selbstinduktionseffekt, dargestellt als Netzwerkmodell mit induktivem Spannungsabfall Stattdessen wird mit zeitlich veränderlichen Spannungen und Strömen in Ersatzschaltbildern mit passiven Bauelementen wie Spulen und elektrischen Widerständen gearbeitet. Die induzierten Spannungen werden als Spannungsquellen modelliert, welche historisch auch als elektromotorische Kraft (EMK) bezeichnet werden. Da es sich bei induzierten Spannungen aber um keine Kraft im physikalischen Sinn handelt, sollte der Begriff EMK zur Vermeidung von Missverständnissen nicht verwendet, sondern als selbstinduzierte Quellenspannung bezeichnet werden.
Im Netzwerkmodell, wie sie unter anderem Schaltpläne darstellen, wird mit Zählpfeilen und bestimmten Orientierungen gearbeitet, wie es die nebenstehende Abbildung darstellt. Zur Verdeutlichung ist der von extern auf die Leiterschleife einwirkende magnetische Fluss Φext und die davon verursachten induzierten Spannungen uext mit dem Index ext versehen. Der bei Belastung der extern geschlossenen Schleife fließende Strom i erzeugt einen magnetischen Fluss ΦI, welcher mit dem Index I kennzeichnet ist. Die selbstinduzierte Quellenspannung lässt sich als eine Spannungsquelle mit dem Betrag ui modellieren, wie in erster Abbildung dargestellt, und ist der den Spulenstrom i treibenden Spannung uext entgegengerichtet. Man bezeichnet sie daher auch als Gegenspannung. Anwendung findet diese Darstellung beispielsweise bei der Beschreibung des so genannten Magnetisierungsstromes bei einem Transformator.