Die Eulerschreibweise ist nach dem Mathematiker Leonhard Euler benannt, der diese für die Feinanalyse von Musikstücken in reiner Stimmung einführte. Dabei wird schon bei der Bezeichnungsweise erkennbar, ob die vorkommenden Terzen und Quinten rein erklingen. Zum Beispiel haben die Tonika-, Subdominant- und Dominantakkorde der reinen C-Dur-Tonleiter die Darstellung c-,e-gBei Euler c-e-g mit Unterstrich und f-,a-c sowie g-,h-d (Durakkorde mit reiner großer und kleiner Terz sowie reiner Quinte), wobei das „Tiefkomma“ vor ,e und ,a sowie ,h besagt, dass die Töne jeweils ein syntonisches Komma tiefer erklingen als das e und a sowie h in der Reihe der reinen Quinten … f c g d a e h …
Das Eulersche Tonnetz stellt den Tonumfang der reinen Stimmung in einem zweidimensionalen Gitternetz aus reinen Quint- und Terzintervallen dar. Euler hatte sich bereits in dem 1739 erschienenen Werk Tentamen novae theoriae musicaeLeonhard Euler: Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae. St. Petersburg 1739. eingehend mit den mathematischen Zusammenhängen der Musik befasst. In diesem Werk suchte er eine mathematische Begründung für das Konsonanz- und Dissonanzempfinden in der Tonkunst und stellte ein Intervallverwandtschaftssystem auf der Primzahlenbasis zusammen. In einem weiteren Werk De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis,Leonhard Euler: De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis. In: Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 18, St. Petersburg 1774. das 1773 veröffentlicht wurde, beschrieb er das Tonnetz aus Quinten und Terzen.
Das Quint-Terz-Schema Die Einführung der leichter einstimmbaren reinen Großterz (mit dem Saitenlängenverhältnis zwischen unterem und oberem Ton von 5:4) – anstelle des pythagoreischen Ditonus (81:64) – in die Diatonik geht auf die enharmonische Tetrachordteilung Didymos’ zurück (etwa 100 Jahre nach Pythagoras). Allerdings ist das Tonsystem im antiken Griechenland nicht mit dem Tonsystem zu vergleichen, auf das sich Leonhard Euler bezieht. In unserem heutigen Tonsystem erstmals erwähnt wurde die reine große Terz um 1300 von Walter Odington in seiner Schrift De Speculatione Musices.Walter OdingtonThe Harvard dictionary of music. Don Michael Randel, 2003, ISBN 0-674-01163-5, S. 56, Überschrift: Arithmetic and harmonic mean, Abschnitt 2 (online).
In der abendländischen Musik wurde die Großterz (Frequenzverhältnis: 81:64) des pythagoreischen Systems als Dissonanz empfunden. Mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit emanzipierte sich im 15. Jahrhundert die reine Großterz (5:4), die als Bestandteil des Dreiklanges zunehmend an musikalischer Bedeutung gewann.
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Der C-Dur Akkord in der Obertonreihe?
Datei:C-dur in der Obertonreihe.ogg
Hierbei erhält man ein Tonsystem, das auf den Intervallen Oktave , Quinte und Terz basiert. Die anderen Intervalle des Quint-Terz-Systems lassen sich so als Vielfache dieser Intervalle darstellen.
Aus der Vielzahl von Kombination dieser Intervalle ergibt sich ein (theoretisch) unendlicher Tonraum. Dieser Tonraum wird häufig mittels eines Tonnetzes wie folgt grafisch dargestellt:
Darstellung im Tonnetz Da die reine Terz nicht mit Quinten darstellbar war, stellte Leonhard Euler das Beziehungsgeflecht der reinen Stimmung mit Hilfe von Quintenreihen dar, die sich jeweils um ein syntonisches Komma unterscheiden. Im folgenden Beziehungsgeflecht reihen sich die Quinten in horizontaler Richtung und die Terzen in vertikaler Richtung.
800px|Grafische Darstellung des Quint-Terz-Schemas
Die Schreibweise ,x („Tiefkomma x“) bzw. ’x („Hochkomma x“) – das Komma vor der Tonbezeichnung – usw. bedeutet, dass der Ton ,x bzw. ’x ein syntonisches Komma tiefer bzw. höher als der Ton x ist.Häufig wird auch folgende Schreibweise verwendet:
(„unterstrichen x“) statt („Tiefkomma x“) und („überstrichen x“) statt ’x („Hochkomma x“)
Diese grafische Darstellung des Quint-Terz-Schemas versteht sich als Beziehungsgeflecht von Tonigkeiten ohne fixierte Oktavlage (auch: „Chroma“, „Toncharakter“;Jacques Handschin: Der Toncharakter. Eine Einführung in die Tonpsychologie. Zürich 1948. ), so dass zur Berechnung konkreter Intervallverhältnisse noch das entsprechende Vielfache der Oktave hinzu- oder weggenommen werden muss.
Die reinen Tonleitern haben in dieser grafischen Darstellung ein stets gleiches Erscheinungsbild. Intervallzusammenhänge sind für jede Tonleiter immer gleich:
Tonleiter Tonleitertöne tabellarisch aufgelistetF-Dur f g ,a b c ,d ,e f ,d-Moll ,d ,e f ,g ,a b c ,dC-Dur c d ,e f g ,a ,h c ,a-Moll ,a ,h c ,d ,e f g ,aG-Dur g a ,h c d ,e ,fis g ,e-Moll ,e ,fis g ,a ,h c d ,ex-Durxx,xxx,x,xxx-Mollxx’xxx’x’xx (Umfangreichere Tabelle siehe Die Tonleitern im Quintenzirkel)
Die Berechnung der zugehörigen Centwerte am Beispiel der Töne c-e-,e mit Oktave = 1200 Cent, Quinte = 701,955 Cent und syntonisches Komma = 21,506 Cent ergibt zum Beispiel mit c = 0 Cent gerundet:
e = c + 4 Quinten − 2 Oktave = 408 Cent und ,e = e − syntonisches Komma = 386 Cent (= c + reine große Terz)
Die entsprechenden Frequenzwerte berechnen sich mit c = 264 Hz zu:
.
Die Centwerte der Töne ergeben sich zu: Ton BerechnungCentwertc 0 0d 2q − o 204,e 4q − 2o − k 386f −q + o 498g q 702,a 3q − o − k 884,h 5q − 2o − k 1088c′ o 1200 (Umfangreichere Tabelle siehe Die Tonleitern im Quintenzirkel)
Es zeigt die Tonbeziehungen der harmonisch-reinen Stimmung. Zum Beispiel erklingen die Töne ,e und ,a sowie ,h der C-Dur-Tonleiter ein syntonisches Komma tiefer als in der pythagoreischen Quintenkette. Die Akkorde c-,e-g und f-,a-c sowie g-,h-d bestehen aus reine Terzen ( und ) und reinen Quinten ().Carl Dahlhaus: Untersuchungen über die Entstehung der harmonischen Tonalität. Kassel 1965. Renate Imig: Systeme der Funktionsbezeichnung in den Harmonielehren seit Hugo Riemann. Düsseldorf 1970.
Das eigentliche „Tonnetz“ wurde 1773 von Leonhard Euler als speculum musicum („Abbild der Musik“) in seiner gleichnamigen Schrift De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis vorgestellt, und von da an – zusammen mit den von Moritz HauptmannMoritz Hauptmann: Die Natur der Harmonik und Metrik. Leipzig 1853. eingeführten Bezeichnungen für bisher gleichnamige Töne, die sich um ein syntonisches Komma unterscheiden – von zahlreichen Theoretikern zu verschiedenen Zwecken abgewandelt (u. a. von Hermann v. HelmholtzHermann v. Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Braunschweig 1863., Arthur v. OettingenArthur von Oettingen: Harmoniesystem in dualer Entwicklung. Studien zur Theorie der Musik. Dorpat/Leipzig 1866; überarbeitete zweite Auflage als Das duale Harmoniesystem, Leipzig 1913. und Hugo Riemannz. B.: Hugo Riemann: Ideen zu einer „Lehre von den Tonvorstellungen“. In: Jahrbuch Peters 21/22, 1914/15). Die unterschiedlichen Charaktere von Tönen gleichen Namens, aber verschiedener Lage im (unendlichen) Tonraum ergibt sich in harmonisch-reiner Stimmung nicht nur aus einer jeweils anderen Tonumgebung und Harmonisierung (etwa das ,e im C-dur-Akkord c-,e-g und das e im E-dur-Akkord e-,gis-h), sondern auch aus einem (minimalen) Tonhöhenunterschied zwischen den jeweiligen Tonstufen (,e und e):
In der C-Dur-Tonleiter c d ,e f g ,a ,h c ist das Intervall c-,e eine große Terz mit dem Frequenzverhältnis . In der Quintenreihe c-g-d-a-e ist das Intervall (zurückoktaviert) c-e eine pythagoreische Terz mit dem Frequenzverhältnis . Diese beiden Intervalle unterscheiden sich um das syntonische Komma mit dem Frequenzverhältnis .Martin Vogel: Die Lehre von den Tonbeziehungen. Bonn - Bad Godesberg 1975, S. 103f.
Die C-Dur-Tonleiter in harmonisch-reiner Quint-Terz Stimmung Die reine C-Dur-Tonleiter kann verstanden werden als Auswahl derjenigen sieben Tonstufen aus dem Quint-Terz-Schema, die zur Intonation der drei Hauptfunktionen Subdominante (S), Tonika (T) und Dominante (D) – also für die „authentische“ Kadenz benötigt werden:
552px|Die C-Dur-Tonleiter in harmonisch-reiner Quint-Terz Stimmung
C-Dur-Tonalität
Datei:C-Dur Tonalität.ogg
Die eigentliche Skala entsteht durch Transposition dieser Tonstufen in die entsprechende Oktavlage – beispielsweise zwischen c1 und c2. Sie besteht nun – im Gegensatz zur pythagoreischen Skala – nicht mehr aus zwei, sondern aus drei Intervallschritten verschiedener Größe, dem großen Ganzton , dem kleinen Ganzton und dem diatonischen Halbton :
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reine C-Dur-Tonleiter
Datei:Reine C-dur-Tonleiter.ogg
Die These (zum Beispiel bei Sigfrid Karg-Elert), dass bei dieser siebenstufigen Tonleiter, welche die harmonisch-reine Intonation der Hauptfunktionen T, S und D erlaubt, melodisch unsauber wirkt, da die jeweiligen Terzen ,e / ,a und ,h in melodischen Zusammenhang als zu niedrig empfunden werden können, ist umstritten. Ross W. DuffinRoss W. Duffin: How Equal Temperament Ruined Harmony (And Why You Should Care). W. W. Norton & Company, New York NY 2007, ISBN 978-0-393-06227-4 (Exzerpt). belegt, dass die „Expressive Intonation“, d. h. die Verwendung von geschärften Leittönen, vor allem seit Pablo Casals (1876–1973) eine durchaus moderne Erscheinung ist. Er erwähnt etwa: Hermann von Helmholtz, der das Spiel von Joseph Joachim physikalisch untersuchte, stellte fest, dass Joachim die Terzen (fast) rein intonierte, was sich auch in seinen Schallplattenaufnahmen von 1903 – trotz technischer Mängel – bestätigt.
Anwendung des Eulerschen Tonnetzes zur musikalischen Feinanalyse Siehe auch Feinanalyse bei Intonationsproblemen
Beispiel 1: Dreiklang auf der II. Stufe in C-Dur Vergleicht man die beiden Dreiklänge Dreiklang auf der 2. Stufe ,d-f-,a (Mollakkord mit reiner kleiner und großer Terz) und Dreiklang auf der 5. Stufe g-,h-d (Durakkord mit reiner großer und kleiner Terz) so erkennt man sofort, dass sich die Töne d und ,d um ein syntonisches Komma unterscheiden.
Siehe dazu auch Beispiel 3. Beispiel 2: Unterschied Gis und As Akkorde C-Dur, f-moll mit Sexte (mit As), E-Dur mit Septime (mit gis), a-moll
Datei:Gis as2.oggAkkorde (mit Frequenzen in Hertz)
C-Dur Tonika: c(132) c′(264) ,e′(330) g′(396) c″(528)
C-Dur Subdominante in Moll mit Sixte ajoutée: f(176) f′(352) ’as′(422,4) c″(528) d″(594)
a-Moll Dominantseptimenakkord: ,e(165) ,e′(330) ,,gis′(412,5) ,h′(495) d″(586,7)
a-Moll Tonika: ,a(220) ,e′(330) ,a′(440) c″(528)
As ist hier um 9,9 Hz höher als Gis mit dem Frequenzverhältnis AS/Gis = (41 Cent). Bei diesem Intervall handelt es sich um die kleine Diësis.Für den Fachmann die Berechnung der Frequenzen mit c′ = 264 Hz: ,,gis′ = Hz = 422,4 Hz, ’as′ = Hz = 412,5 Hz, Berechnung mit Oktave = 1200·lb(2), Quinte = 1200·lb(), Komma = 1200·lb(81/8o) und c = 0 Cent: ,,gis = 8 Quinten − 4 Oktaven − 2 Komma = 772,627 Cent, ’as = −4 Quinten + 3 Oktaven + Komma = 813,686 Cent, Differenz = as′ − ,,gis = 41,059 Cent
Beispiel 3: Die „Kommafalle“ Gerade Chöre, die besonders gut aufeinander hören, können detonieren. Dies liegt dann oft an der unterschiedlichen Intonation gleichnamiger Töne. Dies ist schon lange bekannt. Die musikalische Feinanalyse darüber, die mit Hilfe der Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes leichter zu verstehen ist, gehört jedoch nicht zum musikalischen Bildungsgut.Bettina Gratzki S. 76: Die reine Intonation im Chorgesang (= Orpheus-Schriftenreihe zu Grundfragen der Musik 70). Verlag für systematische Musikwissenschaft GmbH, Bonn 1993, ISBN 3-922626-70-X ()
Ein klassisches Beispiel einer Kommafalle ist das Vorkommen des Akkordes der II. Stufe:
Notenbild I IV II V I
Datei:Kommafalle richtig.ogg
Der dritte Akkord f-,a-d klingt in C-Dur unrein. Ein Chor, bei dem die Stimmen aufeinander hören, singt das passende d ein syntonisches Komma tiefer, hier mit ,d bezeichnet. Es handelt sich ja um die Moll-Parallele zum F-Dur-Akkord und die F-Dur-Tonleiter ist f-g-,b-c-,d-,e-f. Im folgenden Akkord g-,h-d muss dann jedoch wieder das „richtige“ d von C-Dur gesungen werden.