mini|Mengen konstanter Norm (Normsphären) der Maximumsnorm (Würfeloberfläche) und der Summennorm (Oktaederoberfläche) von Vektoren in drei Dimensionen Eine Norm (von „Richtschnur“) ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die Größe des Objekts beschreiben soll. Die konkrete Bedeutung von „Größe“ hängt dabei vom betrachteten Objekt und der verwendeten Norm ab, beispielsweise kann eine Norm die Länge eines Vektors, den größten Singulärwert einer Matrix, die Variation einer Folge oder das Maximum einer Funktion darstellen. Eine Norm wird durch zwei senkrechte Striche links und rechts des Objekts symbolisiert.
Formal ist eine Norm eine Abbildung, die einem Element eines Vektorraums über den reellen oder komplexen Zahlen eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet und die drei Eigenschaften positive Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität besitzt. Eine Norm kann (muss aber nicht) von einem Skalarprodukt abgeleitet werden. Wird ein Vektorraum mit einer Norm versehen, erhält man einen normierten Raum mit wichtigen analytischen Eigenschaften, da jede Norm auf einem Vektorraum auch eine Metrik und damit eine Topologie induziert. Zwei zueinander äquivalente Normen induzieren dabei die gleiche Topologie, wobei auf endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen zueinander äquivalent sind.
Normen werden insbesondere in der linearen Algebra und der Funktionalanalysis studiert, sie spielen aber auch in der numerischen Mathematik eine wichtige Rolle.
Grundbegriffe
Definition mini|Nach der Dreiecksungleichung ist die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der Längen; Gleichheit gilt genau dann, wenn die Vektoren x und y in die gleiche Richtung zeigen.
Eine Norm ist eine Abbildung von einem Vektorraum über dem Körper der reellen oder der komplexen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen,
,
die für alle Vektoren und alle Skalare die folgenden drei Axiome erfüllt:
(1) positive Definitheit: und , (2) absolute Homogenität: , (3) Subadditivität oder Dreiecksungleichung: .
Hierbei bezeichnet den Betrag des Skalars.
Diese axiomatische Definition der Norm wurde von Stefan Banach 1922 in seiner Dissertation aufgestellt. Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand zwischen Vektoren und verwendet.
Beispiel Das Standardbeispiel einer Norm ist die euklidische Norm eines Vektors (mit Ursprung im Nullpunkt) in der Ebene ,
,
die der anschaulichen Länge des Vektors entspricht. Beispielsweise ist die euklidische Norm des Vektors gleich . Die positive Definitheit bedeutet dann, dass, wenn die Länge eines Vektors null ist, dieser der Nullvektor sein muss. Die absolute Homogenität besagt, dass, wenn jede Komponente eines Vektors mit einer Zahl multipliziert wird, sich seine Länge um den Faktor des Betrags dieser Zahl ändert. Die Dreiecksungleichung sagt schließlich aus, dass die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der beiden Längen ist.
Grundlegende Eigenschaften
Aus der absoluten Homogenität folgt durch Setzen von
und damit ,
also Symmetrie bezüglich Vorzeichenumkehr.
Daher kann die Forderung in der Definition auch weggelassen werden, denn sie folgt aus den anderen Eigenschaften: .
Weiterhin gilt für Normen die umgekehrte Dreiecksungleichung
,
was durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf und Berücksichtigung der Symmetrie gezeigt werden kann. Damit ist jede Norm eine gleichmäßig stetige Abbildung. Zudem ist eine Norm aufgrund der Subadditivität und absoluten Homogenität eine sublineare und damit konvexe Abbildung, das heißt für alle gilt
.
Normkugeln mini|Einheitskugel (rot) und -sphäre (blau) für die euklidische Norm in zwei Dimensionen
Für einen gegebenen Vektor und einen Skalar mit heißt die Menge
bzw.
offene bzw. abgeschlossene Normkugel und die Menge
Normsphäre um mit Radius . Die Begriffe „Kugel“ bzw. „Sphäre“ sind dabei sehr allgemein zu sehen – beispielsweise kann eine Normkugel auch Ecken und Kanten besitzen – und fallen nur im Spezialfall der euklidischen Vektornorm mit dem aus der Geometrie bekannten Kugelbegriff zusammen. Wählt man in der Definition und , so nennt man die entstehenden Mengen Einheitskugel bzw. Einheitssphäre. Jede Normkugel bzw. Normsphäre entsteht aus der entsprechenden Einheitskugel bzw. Einheitssphäre durch Skalierung mit dem Faktor und Translation um den Vektor . Ein Vektor der Einheitssphäre heißt Einheitsvektor; zu jedem Vektor erhält man durch Normierung den zugehörigen Einheitsvektor.
In jedem Fall muss eine Normkugel eine konvexe Menge sein, da sonst die entsprechende Abbildung die Dreiecksungleichung nicht erfüllen würde. Weiterhin muss eine Normkugel aufgrund der absoluten Homogenität immer punktsymmetrisch bezüglich sein. Eine Norm lässt sich in endlichdimensionalen Vektorräumen auch über die zugehörige Normkugel definieren, wenn diese Menge konvex, punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunktes, abgeschlossen und beschränkt ist und den Nullpunkt im Inneren hat. Die entsprechende Abbildung wird auch Minkowski-Funktional oder Eichfunktional genannt. Hermann Minkowski untersuchte solche Eichfunktionale bereits 1896 im Rahmen zahlentheoretischer Fragestellungen.
Induzierte Normen
Eine Norm kann, muss aber nicht notwendigerweise, von einem Skalarprodukt abgeleitet werden. Die Norm eines Vektors ist dann definiert als
,
also die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Man spricht in diesem Fall von der durch das Skalarprodukt induzierten Norm oder Hilbertnorm. Jede durch ein Skalarprodukt induzierte Norm erfüllt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
und ist invariant unter unitären Transformationen. Nach dem Satz von Jordan-von Neumann ist dabei eine Norm genau dann durch ein Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogrammgleichung erfüllt. Einige wichtige Normen sind jedoch nicht von einem Skalarprodukt abgeleitet; historisch gesehen bestand sogar ein wesentlicher Schritt bei der Entwicklung der Funktionalanalysis in der Einführung von Normen, die nicht auf einem Skalarprodukt basieren. Zu jeder Norm gibt es jedoch ein zugehöriges semi-inneres Produkt.
Normen auf endlichdimensionalen Vektorräumen
Zahlnormen
Betragsnorm
mini|Betragsnorm einer reellen Zahl
Der Betrag einer reellen Zahl ist ein einfaches Beispiel für eine Norm. Man erhält die Betragsnorm durch Weglassen des Vorzeichens der Zahl, also
Der Betrag einer komplexen Zahl ist entsprechend dazu durch
definiert, wobei die komplex konjugierte Zahl zu ist und bzw. den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl angibt. Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht damit der Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene.
Die Betragsnorm ist vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexen Zahlen
für bzw. für
induziert.
Vektornormen
Im Folgenden werden reelle oder komplexe Vektoren endlicher Dimension betrachtet. Ein Vektor (im engeren Sinn) ist dann ein Tupel mit Einträgen für . Für die folgenden Definitionen ist es unerheblich, ob es sich um einen Zeilen- oder einen Spaltenvektor handelt. Für entsprechen alle folgenden Normen der Betragsnorm des vorangegangenen Abschnitts.
Maximumsnorm
mini|Maximumsnorm in zwei Dimensionen
Die Maximumsnorm, Tschebyschew-Norm oder -Norm (Unendlich-Norm) eines Vektors ist definiert als
und entspricht dem Betrag der betragsgrößten Komponente des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Maximumsnorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Würfels und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Hyperwürfels.
Die Maximumnorm ist nicht von einem Skalarprodukt induziert. Die von ihr abgeleitete Metrik heißt Maximum-Metrik, Tschebyschow-Metrik oder, insbesondere in zwei Dimensionen, Schachbrett-Metrik, da sie den Abstand entsprechend der Anzahl der Schritte misst, die ein König im Schach machen muss, um von einem Feld auf dem Schachbrett zu einem anderen Feld zu kommen. Da der König diagonal ziehen kann, ist beispielsweise der Abstand der Mittelpunkte der beiden schräg gegenüberliegenden Eckfelder eines Schachbretts in der Maximum-Metrik gleich .
Die Maximumsnorm ist ein Spezialfall der Produktnorm
über dem Produktraum von normierten Vektorräumen mit und .
Euklidische Norm
mini|Euklidische Norm in zwei Dimensionen
Die euklidische Norm oder 2-Norm eines Vektors ist definiert als
und entspricht der Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate der Komponenten des Vektors. Bei reellen Vektoren kann in der Definition auf die Betragsstriche verzichtet werden, bei komplexen Vektoren jedoch nicht.
Die Einheitssphäre der reellen euklidischen Norm hat in zwei Dimensionen die Form eines Kreises, in drei Dimensionen die Form einer Kugeloberfläche und in allgemeinen Dimensionen die Form einer Sphäre. In zwei und drei Dimensionen beschreibt die euklidische Norm die anschauliche Länge eines Vektors in der Ebene bzw. im Raum. Die euklidische Norm ist als einzige Vektornorm invariant unter unitären Transformationen, beispielsweise Drehungen des Vektors um den Nullpunkt.
Die euklidische Norm wird vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexer Vektoren gegeben durch
bzw.
induziert. Ein mit der euklidischen Norm versehener Vektorraum wird euklidischer Raum genannt. Die von der euklidischen Norm abgeleitete Metrik heißt euklidische Metrik. Beispielsweise ist der Abstand der Mittelpunkte der beiden schräg gegenüberliegenden Eckfelder eines Schachbretts in der euklidischen Metrik nach dem Satz des Pythagoras gleich .
Summennorm mini|Summennorm in zwei Dimensionen
Die Summennorm, (genauer) Betragssummennorm, oder 1-Norm (lies: „Einsnorm“) eines Vektors ist definiert als
und entspricht der Summe der Beträge der Komponenten des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Summennorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Oktaeders und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Kreuzpolytops.
Die Summennorm ist nicht von einem Skalarprodukt induziert. Die von der Summennorm abgeleitete Metrik heißt speziell im reellen zweidimensionalen Raum auch Manhattan-Metrik oder Taxi-Metrik, da sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke auf einem gitterförmigen Stadtplan misst, auf dem man sich nur in senkrechten und waagerechten Abschnitten bewegen kann. Beispielsweise ist der Abstand der Mittelpunkte der beiden schräg gegenüberliegenden Eckfelder eines Schachbretts in der Manhattan-Metrik gleich .
p-Normen
mini|Einheitskreise verschiedener -Normen in zwei Dimensionen
Allgemein lässt sich für reelles die -Norm eines Vektors durch
definieren. Für erhält man so die Summennorm, für die euklidische Norm und als Grenzwert für die Maximumsnorm. Die Einheitssphären der -Normen haben im reellen Fall in zwei Dimensionen die Form von Superellipsen bzw. Subellipsen und in drei und höheren Dimensionen die Form von Superellipsoiden bzw. Subellipsoiden.
Alle -Normen inklusive der Maximumsnorm erfüllen die Minkowski-Ungleichung sowie die Hölder-Ungleichung. Sie sind für wachsendes monoton fallend und zueinander äquivalent. Als eingrenzende Faktoren ergeben sich für
,
wobei im Fall der Maximumsnorm der Exponent gesetzt wird. Die -Normen unterscheiden sich somit maximal um den Faktor . Die analog zu den -Normen für definierten Abbildungen sind keine Normen, da die resultierenden Normkugeln nicht mehr konvex sind und somit die Dreiecksungleichung verletzt wird.
Matrixnormen
Im Folgenden werden reelle oder komplexe Matrizen mit Zeilen und Spalten betrachtet. Für Matrixnormen wird neben den drei Normeigenschaften manchmal die Submultiplikativität