Reine Stimmung bei Tasteninstrumenten

Eine reine Stimmung von Tasteninstrumenten mit 12 Tasten pro Oktave ist nur für jeweils eine einzige Tonart möglich, denn in reiner Stimmung müssen die Tonstufen Oktave, Quinte, Quarte und große Terz der verwendeten diatonischen Tonleiter genau die Frequenzverhältnisse 2:1, 3:2, 4:3 bzw. 5:4 zum Grundton bilden. Ist zum Beispiel die C-Dur-Tonleiter in reiner Stimmung spielbar, sind schon F-Dur und G-Dur nicht mehr rein. Um mehr Tonarten benutzen zu können, sind deshalb entweder mehr als 12 Tasten oder Kompromisse in der Stimmung, also Abweichungen von der Reinheit notwendig.

Insgesamt sind auf einer 12-stufigen Klaviatur höchstens sechs Dur-Akkorde mit absolut reinen Intervallen darstellbar.Beispielsweise die Kadenzakkorde c-e-g, f-a-c, g-h-d von C-Dur, der Akkord der Untermediante as-c-es, der Gegenklang (=Durparallele) es-g-b und der Neapolitanische Sextakkord f-as-des von c-moll. Siehe: Chromatische Scala bei reiner Stimmung.

Grenzen der reinen Stimmung bei Tasteninstrumenten Problem aufgrund der Partialtonreihe Die reinen Intervalle lassen sich aus der Partialtonreihe ableiten. Ab dem 8. Partialton enthält die Partialtonreihe zwei große Sekunden. Diese beiden gleich benannten Intervalle sind jedoch unterschiedlich groß: der größere Ganztonschritt hat ein Frequenzverhältnis 9/8 und der kleinere ein Frequenzverhältnis 10/9. Eine rein gestimmte große Terz besteht aus einem großen und einem kleinen Ganztonschritt. In C-dur liegt zum Beispiel zwischen c und d ein großer und zwischen g und a ein kleiner Ganztonschritt, in F-dur ist zwischen c und d ein kleiner und in G-Dur zwischen g und a ein großer Ganztonschritt. Dieser Unterschied kann auf einem normalen Tasteninstrument nicht dargestellt werden.

Problem des syntonischen Kommas Vier reine Quinten ergeben rückoktaviert einen anderen Ton als eine rein gestimmte große Terz: vom C aus heißen die Quinttöne g, d¹, a¹ und e². Dieses e² ist im Vergleich zum E als rein gestimmte große Terz über dem C höher, und zwar um das Maß des syntonischen Kommas. Es gibt aber nur eine e-Taste auf einem herkömmlichen Tasteninstrument.

Problemdarstellung entsprechend der Darstellung im Tonnetz Mit der Darstellung im Eulerschen Tonnetz werden die Töne, die durch die reine Quintenreihe …-b-f-c-g-d-a-… bestimmt sind, unterschieden von denjenigen …,b-,f-,c-,g-,d-,a-…(Tiefkomma b, Tiefkomma f …), die durch die Verwandtschaft der Terz zur Tonika gegeben sind. In der Schreibweise zum Beispiel der reinen C-Dur-Tonleiter c-d-,e-f-g-,a-,h-c, der reinen F-Dur-Tonleiter f-g-,a-b-c-,d-,e-f und der reinen G-Dur-Tonleiter g-a-,h-c-d-,e-,fis-g wird ersichtlich, dass für die Töne d und ,d bzw. ,a und a verschiedene Tasten notwendig werden, da ,d ein syntonisches Komma tiefer als d und a ein syntonische Komma höher als ,a zu stimmen ist.

Probleme bei Modulationen Bei einer Modulation bei reiner Stimmung in eine Nachbartonart (Zum Beispiel von C-Dur nach G-Dur oder a-moll nach d-moll) ändern sich zwei Töne, einer davon erkennbar mit Vorzeichenwechsel, der andere geringfügig um ein syntonisches Komma. (Das ist ungefähr 1/5 Halbton.) Diese Flexibilität in der Anpassung der Tonhöhe ist nur der menschlichen Stimme oder vergleichbaren Instrumenten vorbehalten. Bei Tasteninstrumenten mit nur zwölf Tasten innerhalb einer Oktave ist eine reine Intonation in allen Tonarten nicht möglich.

Annäherungen an die reine Stimmung auf dem Tasteninstrument Erweiterung der Klaviatur → Hauptartikel: Archicembalo

Um den Tonartenvorrat der gewöhnlichen mitteltönigen Stimmung zu erweitern, wurden an Stätten professioneller Musikpflege in Westeuropa zwischen ca. 1450 und 1700 nicht selten Tasteninstrumente mit zusätzlichen Obertasten (Subsemitonien, Gebrochenen Tasten, engl. split keys) ausgestattet. Solche Instrumente sind verwandt mit den sog. enharmonischen Instrumenten. Bekannt sind Instrumente mit bis zu vier Subsemitonien. Die Entwicklung begann offenbar in Italien und gewann schnell eine gewisse Verbreitung. Nördlich der Alpen war es erst Gottfried Fritzsche, der in Deutschland 1612 die erste Orgel mit Subsemitonien baute (in der kurfürstlichen Schlosskapelle Dresden). Am häufigsten wurde dis/es geteilt, am zweithäufigsten gis/as.Ibo Ortgies: Pipe Organs with Subsemitones, 1468–1721. und Historical Organs with Subsemitones, 1468–1721. Appendix B. In: Ján Haluska: The Mathematical Theory of Tone Systems (= Pure and Applied Mathematics. 262). Marcel Dekker u. a., New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-4714-3, S. 141–146 und S. 369–374.Ibo Ortgies: Historische Orgeln mit Subsemitonien. Chronologische Übersicht. (Stand: April 2009).

Gioseffo Zarlino baute 1558 ein Instrument mit 19 Tasten pro Oktave, Vido di Trasuntino schuf 1606 das Clavemusicum omnitonum, ein Cembalo mit 31 Tasten pro Oktave und Nicola Vicentino 1555 das Archicembalo, ein Tasteninstrument mit 36 Tasten pro Oktave auf zwei Manualen. Diese Instrumente erwiesen sich jedoch als unpraktikabel für das Spiel der Klavierliteratur.

Die historischen Instrumente mit 19 Tasten wurden für eine mitteltönige Stimmung konzipiert. Mathematisch betrachtet, sind mindestens 26 Tasten pro Oktave notwendig, um rein gestimmte Tonleitern bis zu 7 Vorzeichen spielen zu können.

miniatur|Orthotonophonium (Reinharmonium) - System Arthur von Oettingen, Schiedmayer Pianofortefabrik, Stuttgart, 1914

Folgende Urheber von Tonsystemen mit mehr als 26 Stufen (Töne) pro Oktave sind überliefert:Mathematik und Musik (ehemals veröffentlicht auf der Website der Kantonsschule Zürcher Unterland) http://www.gwick.ch/MaMu/down/Tasten.pdf

1675 Nikolaus Mercator: 53 Stufen 1701 Joseph Sauveur: 43 Stufen 1846 Émile Chevé: 29 Stufen 1863 Hermann von Helmholtz: Reinharmonium mit 30 Stufen 1873 Robert Holford Macdowall Bosanquet: Harmonium mit 53 Stufen 1895 Julián Carrillo: 96 Stufen 1906 Paul von Jankó: 41 Stufen 1911 Carl Eitz: Reinharmonium mit 52 Stufen 1914 Arthur von Oettingen: Orthotonophonium (Harmonium) mit 72 Stufen

Reinharmonium Hermann von Helmholtz, ein glühender Verfechter der reinen Stimmung, beschreibtHermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Vieweg, Braunschweig 1863, (Unveränderter Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981, ISBN 3-8102-0715-2, Auszug) ausführlich (S. 516 ff.) über seine Studien am rein gestimmten Harmonium mit zwei verschieden gestimmten Manualen.

Was nun die musikalischen Wirkungen der reinen Stimmung betrifft, so ist der Unterschied zwischen dieser und der gleichschwebenden oder gar der griechischen Stimmung nach reinen Quinten doch sehr bemerklich. Die reinen Accorde, namentlich die Duraccorde in ihren günstigen Lagen, haben trotz der ziemlich scharfen Klangfarbe der Zungentöne einen sehr vollen und gleichsam gesättigten Wohlklang; sie fließen im vollen Strome ganz ruhig hin, ohne zu zittern und zu schweben. Setzt man gleichschwebende oder pythagoräische Accorde daneben, so erscheinen diese rau, trübe zitternd und unruhig...

Am größten und unangenehmsten ist die Differenz zwischen natürlichen und temperierten Akkorden in den höheren Octaven der Scala, weil hier die falschen Combinationstöne der temperierten Stimmung sich merklicher machen und weil die Zahl der Schwebungen bei gleicher Tondifferenz größer wird, und die Rauhigkeit sich viel mehr verstärkt, als in tieferer Lage ...

Die Modulationen werden deshalb viel ausdrucksvoller ... manche feine Schattierungen werden fühlbar, die sonst fast verschwinden ..

Beschreibung des Reinharmoniums

Hier sind die Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes nützlich, die auch Helmholtz verwendet. Bezeichnungenc - g - d - a - usw.: eine Kette von reinen Quinten 702 Cent (3/2),c - ,g - ,d - ,a - usw. (Tiefkomma c - Tiefkomma g - Tiefkomma d - usw.): dieselbe Kette von reinen Quinten, jedoch um ein syntonisches Komma tiefer gesetzt.

Geht man von h (1110 Cent) eine Reihe von reinen Quinten herab bis ces (1086 Cent), so ist bekanntlich der letzte Ton – oktaviert – ein pythagoräisches Komma (23,5 Cent) tiefer ist als h. Geht man andererseits von h ein syntonisches Komma herab, so erhält man den Ton ,h (Tiefkomma h, 1088 Cent), der sich von Ces nur um das Schisma (2 Cent) unterscheidet. Dieser Unterschied ist an der „Grenze der wahrnehmbaren Tonunterschiede“ (,h=495,000 Hz, ces=494,442 Hz). Helmholtz setzt deshalb ,h = ces, ebenso fes = ,e, ces = ,h, ges = ,fis, des = ,cis, as = ,gis, es = ,dis, b = ,ais und f = ,eis.

Helmholtz bemerkte weiter, dass man den Fehler von 2 Cent auf ein Achtel minimieren kann, indem man die Quinten der Kette g-c-f-b-es-as-des-ges-ces um 1/4 Cent vergrößert, dann nämlich ist ces = ,h. In der Praxis wurde dies jedoch nicht mehr verwendet. Die Erbauer des Reinharmoniums mit zwei Manualen (J. und P. Schiedmayer in Stuttgart) stimmten das Reinharmonium rein nach Gehör mit reinen Quinten und Terzen. Hier dazu die Rechnung in Cent (und den Vergleich mit der reinen Stimmung).

Bezeichnungen (alles in Cent)Oktave o=1200Quinte q=1200·log2(3/2) = 701,955Terz t=1200·log2(5/4) = 386,314syntonisches Komma s=1200·log2(81/80) = 21,506x+q bedeutet: x wird um eine reine Quinte aufwärts gestimmtx+t bedeutet: x wird um eine reine Terz aufwärts gestimmt Unteres Manual: Vergleich mit der reinen Stimmung Oberes Manual: Vergleich mit der reinen Stimmungc=0 c=0 e=a+q-o=407,82 e=4q-2o=407,82g=c+q=701,955 g=q=701,955 ,gis=e+t=794,134 ,gis=8q-4o-s=794,134d=g+q-o=203,91 d=2q-o=203,91 h=e+q=1109,775 h=5q-2o=1109,775a=d+q=905,865 a=3q-o=905,865 dis1=h+t-o=296,089 ,dis=9q-5o-s=296,089,e=c+t=386,314 ,e=4q-2o-s=386,314 fis=h+q-o=611,73 fis=6q-3o=611,73,h=g+t=1088,269 ,h=5q-2o-s=1088,269 ,ais=fis+t=998,044 ,ais=10q-5o-s=998,044,fis=d+t=590,224 ,fis=6q-3o-s=590,224 cis=fis+q-o=113,685 cis=7q-4o=113,685,cis=fis1+q-o=92,179 ,cis=7q-4o-s=92,179 ,eis=ais1+q-o=499,999 ,eis=11q-6o-s=499,999fes=,e=386,314 fes=-8q+5o=384,36 ,e=4q-2o-s=386,314 as=,gis=794,134 as=-4q+3o=792,18 ,gis=8q-4o-s=794,134ces=,h=1088,269 ces=-7q+5o=1086,315 ,h=5q-2o-s=1088,269 es=,dis=296,089 es=-3q+2o=294,135 ,dis=9q-5o-s=296,089ges=,fis=590,224 ges=-6q+4o=588,27 ,fis=6q-3o-s=590,224 b=,ais=998,044 b =-2q+2o=996,09 ,ais=10q-5o-s=998,044des=,cis=92,179 des=-5q+3o=90,225 ,cis=7q-4o-s=92,179 f=,eis=499,999 f=-q+o=498,045 ,eis=11q-6o-s=499,999,as=fes+t=772,627 ,as=-4q+3o-s=770,674 ,c=as+t-o=-19,553 ,c=-s=-21,506,es=ces+t-o=274,582 ,es=-3q+2o-s=272,629 ,g=es+t=682,402 ,g=q-s=680,449,b=ges+t=976,537 ,b=-2q+2o-s=974,584 ,d=b+t-o=184,357 ,d=2q-o-s=182,404,f=,b+q-o=478,492 ,f=-q+o-s=476,539 ,a=d1+q=886,312 ,a=3q-o-s=884,359

miniatur|hochkant=2.0|Die zwei Manuale des Reinharmoniums nach Hermann von Helmholtz Spielbar sind dann: Fis-, H-, E-, A-, D-, G-, C-, F-, B-, Es-, As-, Des-, Ges- und Ces-Dur.

Reine Dur-Akkorde: Reine Mollakkorde:fes-,as-ces ,as-ces-,esces-,es-ges ,es-ges-,b ges-,b-des ,b-des-,f des-,f-as ,f-as-,cas-,c-es ,c-es-,ges-,g-b ,g-b-,db-,d-f ,d-f-,af-,a-c ,a-c-,ec-,e-g ,e-g-,h g-,h-d ,h-d-,fisd-,fis-a ,fis-a-,cisa-,cis-e ,cis-e-,gise-,gis-h ,gis-h-,dis h-,dis-fis ,dis-fis-,aisfis-,ais-cis ,ais-cis-,eis

Auch ist es möglich die Durdominanten der folgenden

Molltonarten rein zu spielen, da (bis auf 2 Cent genau)

,,gis = ,as; ,,dis=,es; u. s. w. Tonart Durdominantakkord Spielbar als,a-Moll ,e ,,gis ,h ,e ,as h,e-Moll (1 #) ,h ,,dis ,fis ,h ,es ,fis,h-Moll (2 #) ,fis ,,ais ,cis ,fis ,b ,cis,fis-Moll (3 #) ,cis ,,eis ,gis ,cis ,f ,gis,cis-Moll (4 #) ,gis ,,his ,dis ,gis ,c ,dis,gis-Moll (5 #) ,dis ,,fisis ,ais ,dis ,g ,ais,dis-Moll (6 #) ,ais ,,cisis ,eis ,ais ,d f = es-Moll (6 b) b ,d f b ,d fb-Moll (5 b) f ,a c f ,a c   „Für die übrigend Molltonarten ist die Reihe der Töne nicht ganz so genügend wie für die Durtonarten“. Der Dominantdurakkord ist nur mit pythagoreischer Terz spielbar.

Tonart Durakkord mit pyth. Terz Nicht spielbar,d-Moll (1 b) ,a ,cis ,e ,,cis,g-Moll (2 b) ,d ,fis ,s ,,fis,c-Moll (3 b) g ,h d ,g ,,h ,d,f-moll (4 b) ,c ,e ,g ,,e,b-Moll (5 b) ,f ,a ,c ,,a,,es-moll (6 b) ,b ,d ,f ,,d