mini|Robert Aumann (2010)
Das Gleichgewicht in korrelierten Strategien (auch Correlated equilibrium-KonzeptAumann, Robert: Subjectivity and Correlation in Randomized Strategies. Journal of Mathematical Economics 1, 1974: S. 67–96.) ist ein vom Mathematiker Robert Aumann entwickeltes Lösungskonzept, durch das im Rahmen der Spieltheorie eine Harmonisierung der Strategien möglich wird.Holler, Manfred / Illing, Gerhard: Einführung in die Spieltheorie.6., überarbeitete Auflage, Springer Verlag, Berlin und Heidelberg, 2006: S. 87ff. Im Gegensatz zum Nash-Gleichgewicht, das weder bindende Verträge noch Kommunikation vor dem Entscheidungstreffen der beteiligten Spieler zulässt und somit die Strategiewahl des einen von der Strategiewahl des anderen Spielers unberührt bleibt, ermöglicht das Gleichgewicht in korrelierten Strategien eine Korrelation der Strategien untereinander.
Überblick Die Grundidee erlaubt die Betrachtung der gemeinsamen Randomisierungen der Spieler über die Strategiemenge S und die Offenlegung der korrelierten Strategien (engl. correlated strategies). Zu Anschauungszwecken wird sehr oft ein öffentlicher Wahrscheinlichkeitsmechanismus unterstellt (eng. correlation device), an dem die Spieler ihre Strategie ausrichten. Dies kann zum Beispiel ein einfacher Münzwurf sein. Hier wird correlation device streng im Sinne des public correlation device verwendet. In Abgrenzung dazu sei erwähnt, dass je nach wissenschaftlicher Fragestellung, die Verwendung eines private correlation device möglich ist.Bone, John / Drouvelis, Micaelis / Ray, Indrajit: Avoiding Coordination-Failure using Correlation Devices: Experimental Evidences. Department of Economics, University of Michigan, letzte Version September 2011: S. 1–13. Verfügbar auf: http://www.isid.ac.in/~pu/conference/dec_11_conf/Papers/IndrajitRay.pdf
Das Aumannsche Konzept stellt ein stärkeres Gleichgewichtskonzept als das von John Nash dar. Für die Spieler resultiert, selbst im Falle, dass keine bindenden Verträge möglich sind, ein höheres Auszahlungspotential. Ein Gleichgewicht nach Nash in gemischten Strategien kann demnach als eine stabile Situation begriffen werden, welche die Randomisierung der Strategien auf unkorrelierte Art und Weise, also im statistisch unabhängigen Modus impliziert.
Das große Verdienst von Aumann besteht darin, dass er die Starrheit des Konzeptes von Nash aufgehoben hat, und zwar durch seine Beweisführung, dass eine Randomisierung der Spieler, die einem gemeinsamen Zufallsmechanismus folgt und somit die Randomisierung der Strategien im statistisch abhängigen Modus korreliert, beide Spieler besser stellen kann.Aumann, Robert: Correlated Equilibrium as an Expression of Bayesian Rationality. Econometrica, Econometric Society, Vol. 55, No. 1, 1987: S. 1–6. Vorausgesetzt, die Beteiligten sind gewillt, sich auf einen gemeinsamen Mechanismus bezüglich der Definition der Strategienmischung zu einigen, und sofern unter dieser Prämisse keine Verbesserung durch das Zurückgreifen auf unkorrelierte Strategien möglich ist, spricht man von einem Gleichgewicht in korrelierten Strategien.
Beispiel Das Gleichgewicht in korrelierten Strategien wird am Beispiel des Problems „Kampf der Geschlechter“ illustriert.
Modellannahmen Das Modell geht zunächst von der Annahme aus, dass beide Spieler an einem ihnen wohlbekannten Spiel teilnehmen. Bevor dieses beginnt, bekommen beide ein Signal zugewiesen, dass die Nutzeneinheiten selbst nicht verändert, sehr wohl aber, da beide Spieler ihre Strategien korrelieren, d. h. aufeinander abstimmen können, den Ausgang des Spieles und somit den erhaltenen Nutzen jeden Spielers.Holler, Manfred / Illing, Gerhard: Einführung in die Spieltheorie. 6., überarbeitete Auflage, Springer Verlag, Berlin und Heidelberg, 2006: S. 88.
Von entscheidender Bedeutung beim Konzept von Aumann ist die Existenz eines unabhängigen Koordinators, der jedem Spieler seine Strategie zuweist. Diesem vertrauen beide Spieler, denn sie haben in dem Modell schließlich die Gewissheit, dass es sich bei der vorgeschlagenen Strategie um ein Gleichgewicht handelt. Somit ist es für keinen Spieler lohnend, von der vorgeschlagenen Strategie abzuweichen.Hart, Sergiu: Robert Aumann's Game and Economic Theory. Scandinavian Journal of Economics, Vol. 108, No. 2, July 2006: S. 202. Verfügbar auf: http://www.ma.huji.ac.il/hart/papers/aumann-n.pdf
Modell Das bekannte Spiel Kampf der Geschlechter wird mittels einer Bimatrix dargestellt:
Frau Fußball (s21) Ballett (s22) Mann Fußball (s11) 3/1 0/0 Ballett (s12) 0/0 1/3
Die reinen Nash-Gleichgewichte sind {Fußball, Fußball} und {Ballett, Ballett}. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Spieler mit seiner Vermutung, welches der beiden obigen Gleichgewichte vom anderen Spieler gewählt wird, richtig liegt, ist in einer Welt ohne Absprache gering.
Abweichung davon ist beispielsweise in einer Umgebung möglich, in der die Männer die Frauen dominieren, so dass sich das Ehepaar immer auf den Besuch des Fußballspieles einigt; dieser sogenannte Focus-Punkt-Effekt (eng. focal-point effect) wurde von dem US-amerikanischen Ökonomen und Nobelpreisträger Thomas Schelling in seinem einflussreichen Buch über die Sozialtheorie Strategy of Conflict(1960) beschrieben und somit auf den Einfluss von Umwelt- und Kulturfaktoren auf das rationale Verhalten hingewiesenMyerson, Roger: Learning from Schelling's strategy of conflict. Department of Economics, University of Chicago, letzte Version April 2009: S. 5. Verfügbar auf: http://home.uchicago.edu/~rmyerson/research/stratofc.pdf.
Möglichkeiten zur Modellierung von strategischer Unsicherheit Strategische Unsicherheit liegt bei einem Spiel also dann vor, wenn weder die Möglichkeit expliziter, d. h. verbaler noch impliziter Kommunikation, wie sie zum Beispiel im kulturellen Kontext durch Gewohnheiten mehr oder minder stark determiniert ist, existiert. Dies macht den Rückgriff auf alternative Lösungskonzepte notwendig.
Die erste Lösungsmöglichkeit geht auf John Nash zurück und stellt die klassische Betrachtung eines Gleichgewichtes in gemischten Strategien dar. In der obigen Bimatrix liegt ein Gleichgewicht in gemischten Strategien nach Nash in und vor, jedoch beträgt die erwartete Auszahlung hierbei nur 0,75, und zwar sowohl für den Mann als auch für die Frau. Java-Applet zur Lösung von Normalformspielen Somit bekommt jeder weniger als das, was in den beiden Nash-Gleichgewichten beim Spielen von reinen Strategien möglich ist.
Gegeben dem Fall also, dass sich die Spieler, in diesem Fall das Paar darauf einigen könnte, zusammen eines von zweien Nash-Gleichgewichten in reinen Strategien zu spielen und sich somit jeweils einen erwarteten Nutzen von 2 zu sichern, so wäre die Absprache und zwar auch ohne einen bindenden Vertrag stabil, denn weder der Mann noch die Frau hätten einen Anreiz abzuweichen. Die Kommunikation erweist sich somit als äußerst vorteilhaft und ebnet den Weg zu der zweiten Lösungsmöglichkeit, nämlich dem Gleichgewicht in korrelierten Strategien, dem Kernstück von Aumanns Arbeit.
Dieses kann über verschiedene Mechanismen implementiert werden. Zum einen kann sich das Ehepaar im Vorfeld darauf einigen, bei schönem Wetter zu einem Fußballspiel und bei schlechtem Wetter ins Ballett zu gehen oder um auf den Münzwurf zu Beginn zurückzukommen, das Vorhandensein eines vertrauenswürdigen Vermittlers, bei dem beide davon ausgehen können, dass die vorgeschlagene Strategie ein Gleichgewicht ist und der dem Ehepaar bei Kopf zum Fußball und bei Zahl zum Ballett rät, also zum Spielen von oder alternativ .
Da die Wahrscheinlichkeit sowohl für Kopf als auch für Zahl im Falle einer perfekten Münze jeweils ist, sind demnach und , bevor Kopf oder Zahl gefallen ist, gleich wahrscheinlich.
Mathematische Darstellung
Vorüberlegungen zu privaten und nicht privaten Signalen
Wie in den obigen Abschnitten bereits erläutert worden ist, kann das Konzept des Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien zur Modellierung von Spielen mit nicht deterministischen Spielerstrategien und vorgeschriebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen dieser Strategien verwendet werden.Osborne, Martin J./ Rubinstein, Ariel: A Course in Game Theory. MIT Press Books, The MIT Press, edition 1, Vol 1, No. 0262650401, 1994: S. 31, 32, 38. Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien darf folglich als eine stationäre Situation aufgefasst werden, in der die Spieler ihre reinen Strategien von einem von außen kommenden, privaten und voneinander unabhängigen Signal abhängig machen.Osborne, Martin J./ Rubinstein, Ariel: A Course in Game Theory. MIT Press Books, The MIT Press, edition 1, Vol. 1, No. 0262650401, 1994: S. 39–41.
Aumanns Arbeit geht dagegen von der Prämisse aus, dass es in korrelierten Gleichgewichten Abhängigkeiten zwischen den Spielersignalen gibt, da diese nicht mehr privat sind.Hart, Sergiu: Robert Aumann's Game and Economic Theory. Scandinavian Journal of Economics, Vol. 108, No. 2, July 2006: S. 202–204. Dies impliziert die Optimalität der reinen Strategie eines jeden Spielers, sobald die Informationen der Spieler bekannt sind.
Definitionen
Im Folgenden wird ein Überblick über die mathematischen Aspekte von Aumanns Konzept vermittelt. Dafür betrachtet man ein -Spieler-Spiel mit den endlichen (individuellen) Strategien und der Auszahlungsfunktion (für jeden Spieler).
Definition der korrelierten Strategie
Zunächst wird die Definition einer korrelierten Strategie selbst gegeben. Ausgangspunkt ist ein Wahrscheinlichkeitsraum . Für jeden einzelnen Spieler definiert man weiter: ein sowie eine Zufallsvariable . eine Funktion eine daraus resultierende Strategie .
Man interpretiert dann (wobei ist) als Signalgeber, der für alle Spieler bekannt ist. Nun soll ein einzelner Spieler aber ein gegebenes Signal nicht vollständig sehen, sondern nur einen für ihn vorgesehenen Teil, dazu die Einschränkungen auf mittels . Mit seiner Strategie bekommt jeder Spieler zu einem konkreten Signal schließlich ein Strategie im ursprünglichen Spiel.
Den Signalgeber zusammen mit den resultierenden Strategien nennt man dann korrelierte Strategie.
Formale Definition des Gleichgewichtes in korrelierten Strategien
Ein strategisches -Spieler-Spiel sei charakterisiert durch die möglichen Handlungen und die Nutzenfunktion für jeden Spieler . Falls der Spieler die Strategiewahl des zugrundeliegenden Spiels trifft und die nachfolgenden Spieler eine Strategie wählen, die durch das -Tupel charakterisiert ist, dann sei der Nutzen des Spielers mit bezeichnet. Eine Modifikation der Strategie für jeden Spieler sei durch die Funktion dargestellt, folglich ist der Spieler in der Lage gemäß seine Handlungen zu modifizieren, d. h. auf die Anweisung zu spielen folgt .
Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum , wobei die Menge der Zustände und ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ist.
Des Weiteren sei für jeden Spieler dessen Informationspartition, die Strategie sei innerhalb derselben Informationspartition des Spielers enthalten und die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Dann stellt ein korreliertes Gleichgewicht eines strategischen Spieles für jeden Spieler und für jede Modifikation der Strategie dar, falls gilt:
Osborne, Martin J./ Rubinstein, Ariel: A Course in Game Theory. MIT Press Books, The MIT Press, edition 1, Vol. 1, No. 0262650401, 1994: S. 45.
Oder einfacher ausgedrückt: ist ein korreliertes Gleichgewicht, falls kein Spieler seinen erwarteten Nutzen mittels einer Strategiemodifikation ändern kann und somit um auf das Ursprungsmodell zurückzukommen, keinen Anreiz zum Abweichen von der vorgeschlagenen Strategie hat.
Zusammenhang zwischen dem Nash-Gleichgewicht und dem Gleichgewicht in korrelierten Strategien