Die Skorochod-Darstellung Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 176. , auch Skorochod-Kopplung Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 392. genannt oder als Darstellungssatz von Skorochod Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 289. bezeichnet, ist eine Aussage der Stochastik über die Konvergenz in Verteilung beziehungsweise die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und ihre Verknüpfung zur fast sicheren Konvergenz. Sie ist nach Anatoli Skorochod benannt, ist aber aufgrund unterschiedlicher Transkriptionen seines Namens in verschiedene Sprachen auch in den Schreibweisen Skorokhod oder Skorohod in der Literatur zu finden. Der Beweis des Darstellungssatzes ist ein klassisches Beispiel für ein Kopplungsargument.Grimmet, Stirzaker: Probability and Random Processes 2001, S. 314
Aussage Gegeben seien Zufallsvariablen mit Werten in einem polnischen Raum , versehen mit der borelschen σ-Algebra. Typischer Fall ist beispielsweise . Des Weiteren gelte ,
die Zufallsvariablen konvergieren also in Verteilung.
Dann gilt: Es existieren ein Wahrscheinlichkeitsraum und Zufallsvariablen ,
so dass die Verteilungen übereinstimmen: und , und die Folge fast sicher gegen konvergiert.
Varianten Der Satz wird in unterschiedlichen Varianten formuliert: teils nur für reelle Zufallsvariablen, wobei die Konvergenz in Verteilung dann über die Verteilungsfunktionen definiert wird, teils wird die Konvergenz in Verteilung auch als schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen im Bildraum formalisiert.
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Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Stochastik)