Der Satz von Beltrami-Enneper (nach Eugenio BeltramiEugenio Beltrami: Dimostrazione di due formole del Sig. Bonnet. In: Giornale di Matematiche. 4, 1866, , S. 123–127 (Auch in: Eugenio Beltrami: Opere matematiche. Band 1. Hoepli, Mailand 1902, S. 297–301), Online. und Alfred EnneperAlfred Enneper: Über asymptotische Linien. In: Nachrichten von der Georg-Augusts-Universität und der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 12, 1870, , S. 493–510, (Resultat ist formuliert auf S. 499), Online) ist ein Resultat aus der Differentialgeometrie der Flächen.
Aussage Das Quadrat der Torsion einer Asymptotenlinie ist gleich der negativen gaußschen Krümmung der Fläche, in der sich die Kurve bewegt, sofern die Krümmung der Kurve selbst nicht verschwindet.W. Blaschke, K. Leichtweiß: Elementare Differentialgeometrie (= Vorlesungen über Differentialgeometrie. 1 = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 1). 5. vollständig neubearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-05889-3, § 56, S. 133f.Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 5. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9, Satz 3.19, S. 57. Eine Kurve auf einer Fläche heißt Asymptotenlinie, wenn die zweite Fundamentalform der Fläche entlang der Kurve verschwindet. Insbesondere ist die gaußsche Krümmung in jedem Punkt einer Asymptotenlinie nichtpositiv.
Anwendungsbeispiel Aus dem Satz von Beltrami-Enneper folgtVictor Andreevich Toponogov: Differential geometry of curves and surfaces. A concise guide. Birkhäuser, Boston u. a. 2006, ISBN 0-8176-4384-2, Theorem 2.7.6.: Ist eine reguläre Fläche, die eine Gerade enthält (dabei Parametrisierung nach der Bogenlänge), und ein an tangentiales, auf orthogonales Einheitsvektorfeld entlang , dann ist die Krümmung von in gleich
mini|Einschaliges Hyperboloid Sei das einschalige Hyperboloid und
Dann ist
und damit
Einzelnachweise
BeltramiEnneper, Satz von Kategorie:Elementare Differentialgeometrie