Minimale Kopplung

Minimale Kopplung,S. 226. minimale Substitution oder auch Prinzip der minimalen elektromagnetischen WechselwirkungS. 235. beschreibt ein Prinzip der Quantenmechanik zur Einführung der elektromagnetischen Wechselwirkung in die Gleichungen freier Teilchen. Das Prinzip legt die durchzuführende Ersetzung im Hamiltonoperator eines freien Teilchens fest, um seine Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Feld zu erreichen. Die Berechtigung dieses Prinzips rührt daraus, dass eine Ankopplung freier Teilchen an Wechselwirkungsfelder nach diesem Prinzip zu Eichinvarianz der betreffenden Gleichungen führt.S. 383.

Das Prinzip In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die Dynamik eines Teilchens durch die Schrödingergleichung

beschrieben. Dabei ist die Wellenfunktion des Teilchens und der Hamiltonoperator. Für ein freies Teilchen der Masse ist der Hamiltonoperator als

gegeben, für ein Teilchen in einem Potential dagegen als

mit dem Impulsoperator .

Zur Ankopplung eines geladenen Teilchens an das elektromagnetische Feld werden folgende Ersetzungen in der Schrödingergleichung durchgeführt:

Der Impulsoperator wird durch

ersetzt. Dies entspricht der Ersetzung des kinetischen Impulses durch den kanonischen Impuls.S. 130. Dabei ist die Stärke der Ankopplung des Teilchens an das Feld die elektrische Ladung des Teilchens und das Vektorpotential des elektromagnetischen Feldes.

Außerdem wird auf der linken Seite der Schrödingergleichung die Zeitableitung durch

ersetzt, wobei das Skalarpotential des elektromagnetischen Feldes ist.

In der relativistischen Quantenmechanik, deren Analogon der Schrödingergleichung die Dirac-Gleichung ist, können beide Ersetzungen zu einer einzigen zusammengefasst werden. Im Rahmen des Tensorkalküls der Relativitätstheorie werden das Skalarpotential und Vektorpotential des elektromagnetischen Feldes zu einem Viererpotential zusammengefasst: . Der Impulsoperator ist in der relativistischen Quantenmechanik auch ein Vierervektor, der Viererimpuls: , ist der Energieoperator. Das Prinzip der minimalen Kopplung verlangt nun die Ersetzung . In der Ortsdarstellung stimmt die minimale Kopplung mit der aufgrund von Eichinvarianz geforderten kovarianten Ableitung überein, obwohl beide Terme auf verschiedene Weisen hergeleitet werden. Der Term der minimalen Kopplung und die damit verbundene Ersetzungsregel entspringt dem Verlangen, die Schrödingergleichung oder Dirac-Gleichung eines freien Teilchens an ein elektromagnetisches Feld zu koppeln. Dagegen entspringt die Ersetzungsregel, dass alle partiellen Ableitungen durch die kovariante Ableitung ersetzt werden sollen, dem Verlangen nach einer eichinvarianten Bewegungsgleichung. Es stellt sich heraus, dass beide Ersetzungsregeln identisch sind. Im Abschnitt Eichfreiheit im Sinne der Eichtheorie wird skizziert, wie die Forderung nach Eichinvarianz die Ankopplung der freien Gleichung an ein Wechselwirkungsfeld fordert und somit die kovariante Ableitung zu Tage fördert. Man beobachtet, dass die dort hergeleitete kovariante Ableitung genau der minimalen Kopplung entspricht. Im Abschnitt Kovariante Ableitung wird skizziert, warum beide Ersetzungsregeln identisch sein müssen.

Klassische Mechanik In der Hamiltonschen Mechanik wird die Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung und Masse im elektromagnetischen Feld mit der Hamilton-Funktion

beschrieben, die sich ausgehend von der Lorentzkraft herleiten lässt.S. 232-S. 234. Dabei werden das elektrische Feld und das magnetische Feld , wie in der Elektrodynamik üblich, durch die Potentiale und beschrieben: , .

Zu dieser Hamilton-Funktion gelangt man auch von der Hamilton-Funktion eines freien Teilchens (freies Teilchen bedeutet verschwindendes Potential , ist die Gesamtenergie, die kinetische Energie) . Die Ersetzungen , , führen genau auf die Hamilton-Funktion eines klassischen geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld.S. 1ff. Diese Ersetzungen entsprechen den oben für die Quantenmechanik angegebenen Ersetzungen. Die erste Ersetzung ist dieselbe wie in der quantenmechanischen Version. Die zweite Ersetzung entspricht auch gerade der zweiten Ersetzung für die Quantenmechanik, da in der zeitabhängigen Schrödingergleichung der Energieoperator gerade ist.

Eine Motivation der minimalen Kopplung ist, dass sie zur Eichinvarianz im Sinne der klassischen Elektrodynamik in den Bewegungsgleichungen, die sich aus den Hamiltonschen Gleichungen ergeben, führt. Die Hamilton-Funktion selbst ist dagegen in diesem Sinne nicht eichinvariant.S. 232.

Eichfreiheit im Sinne der klassischen Elektrodynamik Man spricht von Eichfreiheit, wenn sich die Potentiale und frei wählen lassen, ohne dass sich die Bewegungsgleichungen des Teilchens ändern. Anders ausgedrückt: Die resultierende Kraft auf das Teilchen darf durch Umeichen der Potentiale nicht verändert werden. Die Kraft auf geladene Teilchen aufgrund von elektromagnetischen Feldern ist die Lorentzkraft .

Man darf nun solche Eichungen bzw. der Potentiale durchführen, die die Lorentzkraft nicht ändern, es muss also gelten. Es stellt sich heraus, dass folgende Eichungen die Bewegungsgleichungen invariant lassen:

mit einer beliebigen skalaren Funktion .

Wählt man die Weyl-Eichung,Im Englischen auch „temporal gauge“ genannt: Artikel in der engl. Wikipedia. also eine Eichung, in der das skalare Potential immer verschwindet, , so muss nur die erste Ersetzung auf die Hamilton-Funktion eines freien Teilchens zur Ankopplung an das elektromagnetische Feld durchgeführt werden.

Schrödingergleichung ohne Spin Die Schrödingergleichung eines freien Teilchens ohne Spin lautet . Der Hamiltonoperator des freien Teilchens ist demnach . Anwenden des Prinzips der minimalen Kopplung führt auf den Hamiltonoperator eines geladenen Teilchens ohne Spinterm im magnetischen Feld bzw. im elektromagnetischen Feld, unter Hinzunahme der Weyl-Eichung .

Eichfreiheit im Sinne der Eichfeldtheorie (Herleitung der Minimalen Kopplung) Alle messbaren physikalischen Größen sind nur vom Betragsquadrat der Wellenfunktion abhängig.S. 228. Daher ist die Wellenfunktion nur bis auf einen ortsabhängigen Phasenfaktor bestimmt. Die Zustände in der Quantenmechanik besitzen also ein frei wählbares Eichfeld . Berechnet man aber die freie Schrödingergleichung mit einer umgeeichten Wellenfunktion (es ist also ), so bleibt die Schrödingergleichung nicht forminvariant.S. 170.

Schreibt man dagegen den Hamiltonoperator mit der minimalen Kopplung, so bleibt die Schrödingergleichung unter Eichung der Phase invariant. Dies nennt man Kovarianz. Die Forderung nach lokaler Eichfreiheit der Phase macht die Existenz der elektromagnetischen Felder daher zwingend notwendig. Theorien, in denen Wechselwirkungsfelder aufgrund von Invarianzen unter bestimmten Transformationen (hier lokale Phasentransformation) automatisch generiert werden, heißen Eichfeldtheorien. Außerdem ist der Hamiltonoperator nun auch forminvariant unter Eichung der elektromagnetischen Potentiale. Die Ersetzung des Impulsoperators durch wird auch kovariante Ableitung genannt, da das Ersetzen der gewöhnlichen Ableitung (Impulsoperator) durch eine veränderte Ableitung (kovariante Ableitung) zur Forminvarianz der Schrödingergleichung führt. Die Verwandtschaft zur kovarianten Ableitung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie wird im Abschnitt #Kovariante Ableitung erklärt.

Betrachtet man nun den Hamiltonoperator mit eingefügter minimaler KopplungUnter Verwendung der Weyl-Eichung, andernfalls müsste man noch die linke Seite der Schrödingergleichung nach dem Prinzip der minimalen Kopplung ersetzen. und den gleichen Hamiltonoperator bloß mit umgeeichtem Vektorpotential , so führt die gestrichene Schrödingergleichung

auf die ungestrichene Schrödingergleichung . Beide Eichtransformationen heben sich also gegeneinander auf, so dass die Schrödingergleichung geschrieben mit kovarianter Ableitung forminvariant unter Eichtransformation der Potentiale und der Wellenfunktionen ist.

Schrödingergleichung mit Spin Das Prinzip der minimalen Kopplung führt erst in der relativistischen Quantenmechanik (also bei Anwendung auf die Dirac-Gleichung) zu der quantitativen Kopplung zwischen geladenen Teilchen und elektromagnetischem Feld, die bislang experimentell nachgewiesen wurde. In der „klassischen“ Schrödingergleichung fehlt noch der Anteil der Wechselwirkung zwischen Elektron und Licht, der vom Spin des Elektrons abhängt. Um diesen Spin-Anteil auch in der nicht relativistischen Quantenmechanik über das Prinzip der minimalen Kopplung einzuführen, kann man einen Trick anwenden.S. 235. Für die Pauli-Matrizen gilt für jede beliebige Matrix : . Nun modifiziert man den freien Hamiltonoperator in der Schrödingergleichung mit dieser „versteckten“ Pauli-Matrix . Wenn man nun das Prinzip der minimalen Kopplung auf diesen modifizierten freien Hamiltonoperator anwendet, so erhält man . Ausmultiplizieren unter Beachtung der Reihenfolge sowie der Verwendung der oben angegebenen Definition des Magnetfeldes ergibt . Dies entspricht der Pauli-Gleichung, die die Dynamik eines nicht relativistischen Spin-1/2-Teilchens mit Ladung und Masse in einem elektromagnetischen Feld (ohne skalares Potential) beschreibt.

Dirac-Gleichung Die freie Dirac-Gleichung lautet unter Verwendung der Dirac-Matrizen

und ist lorentzinvariant. Genauso wie im Fall der Schrödingergleichung ist die Gleichung aber unter lokalen Phasentransformation nicht eichinvariant. Für die hier verwendeten Vierervektoren bedeutet minimale Kopplung die Ersetzung

mit dem Vektorpotential und der Vierer-Ableitung , beide als kovariante Vektoren geschrieben (Vorzeichen beachten!). Dies führt auf die Dirac-Gleichung mit angekoppeltem elektromagnetischem Feld.

wird auch kovariante Ableitung genannt, da die Dirac-Gleichung in dieser Form forminvariant unter lokalen Phasentransformationen ist, wenn diese zusammen mit Eichtransformationen der Felder durchgeführt werden.

Dipolnäherung Die Hamilton-Funktion für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld und einem Potential ist durch

gegeben. Diese Hamilton-Funktion beschreibt ein klassisches geladenes Teilchen in einem Potential. Die quantenmechanische Version (Übergang von der Hamilton-Funktion zum Hamiltonoperator) würde ein einzelnes Elektron gebunden an ein Atom (Wasserstoffatom) beschreiben. Der Einfachheit halber soll aber im folgenden Abschnitt die Dipolnäherung an der klassischen Hamilton-Funktion gezeigt werden.

Die Hamilton-Funktion kann in zwei Teile aufgeteilt werden. Ein Teil beschreibt das System (Elektron im Potential) selbst und der andere seine Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld. , .

Betrachtet man nun die Situation in einem elektromagnetischen Feld in der Strahlungseichung (, und daher )S. 478–482. und berücksichtigt nur die Kopplung in linearer Ordnung mit , so erhält man . Das Vektorpotential kann außerdem als angenähert werden. Solange die charakteristische Wellenlänge des elektromagnetischen Feldes sehr viel größer als die Ausdehnung des Atoms ist, kann das Vektorpotential als räumlich nahezu homogen über die Ausdehnung des Atoms angesehen werden. Schreibt man den kanonischen Impuls als kinetischen Impuls , so folgtS. 306. . In der Dipolnäherung ist das elektrische Feld als gegeben. Dies führt auf . Der letzte Term kann weggelassen werden, da die Hamilton-Funktion nur bis auf die totale zeitliche Ableitung einer beliebigen Funktion bestimmt ist. Schließlich ergibt sich die Wechselwirkungs-Hamilton-Funktion für ein gebundenes geladenes Teilchen in der Dipolnäherung zu . Dieses Ergebnis wurde aus dem Prinzip der minimalen Kopplung hergeleitet und wird auch in seiner quantenmechanischen Entsprechung (hier klassische Herleitung) der Quantenelektrodynamik verwendet. Ein häufig verwendeter Name für diese Wechselwirkung ist auch „-Hamiltonian“, sprich „E mal r Hamiltonian“, da für die Ortskoordinate häufig verwendet wird.S. 389. Man kann noch den Dipoloperator