Wiederholte Spiele sind ein Spezialfall dynamischer Spiele in der Spieltheorie. Sie werden verwendet, um wiederholte Interaktionen zwischen Akteuren darzustellen. In einem solchen Spiel treffen die Akteure in der gleichen Entscheidungssituation in mehreren Runden aufeinander. Der Spielausgang unterscheidet sich deutlich von den statischen Spielen (One-Shot-Game), bei denen die Spieler nur einmalig interagieren. Dies ist darauf zurückzuführen, dass zukünftiges Verhalten der Spieler nur nach Wiederholung des Spiels auf ihr vergangenes Verhalten konditioniert werden kann. Deshalb ist es möglich, sich in den Folgerunden gegenseitig zu „bestrafen“ oder zu „belohnen“.Robert Gibbons: A Primer in Game Theory, First Edition, Financial Times, Harlow 1992, Seite 82Thomas Riechmann: Spieltheorie, 3. Auflage, Vahlen, München 2010, Seite 141

Ein Großteil der Analyse wiederholter Spiele wurde von Robert Aumann angetrieben.Sergiu Hart: Robert Aumann’s Game and Economic Theory, Scand. J. of Economics 108(2), Israel 2006, Seite 185

Beispiele für wiederholte Interaktionen: Konkurrenz auf Märkten (Anbieter auf einem Oligopolmarkt), Versicherungsverträge, Auktionen, Handeln innerhalb von Unternehmen oder Gruppen (Arbeitgeber und Arbeitnehmer, Familienmitglieder).Drew Fudenberg, Jean Tirole: Game Theory. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts 1991, Seite 145

Struktur wiederholter Spiele

Wiederholte Interaktionen werden als dynamisches Spiel dargestellt, in dem die Spieler in jeder Runde das gleiche statische Spiel (Stufenspiel) spielen. Wird dieses Stufenspiel unendlich oft wiederholt, spricht man von einem Superspiel . Gegeben sei ein statisches Spiel mit vollständiger Information, wobei Spieler aus der Strategiemenge simultan eine Strategie wählen und die Auszahlung erhalten. Die in einer Runde erhaltenen Auszahlungen der Spieler hängen nur von den in der jeweiligen Runde gewählten Handlungen ab. Für alle einzelnen Runden bleibt der funktionale Zusammenhang gleich. Unmittelbar nach jeder Runde können die Strategien aller Spieler beobachtet werden. Der Spielverlauf bis zum Zeitpunkt t wird als bezeichnet. Entscheidungen in vorhergehenden Runden beeinflussen somit die Strategien der Spieler und die daraus resultierenden Auszahlungen in nachfolgenden Runden. Die Zeitpräferenz der Spieler wird durch einen Diskontfaktor dargestellt. Die Spieler versuchen ihre Auszahlungen über alle Runden hinweg zu maximieren: . Je näher der Diskontfaktor bei Eins liegt, desto gleichgültiger sind die Spieler bezüglich des Auszahlungszeitpunkts. Liegt der Diskontfaktor nahe Null, ist die Zeitpräferenz sehr hoch und die Zukunft spielt keine Rolle. Dies kann mit einem statischen (one-shot) Spiel verglichen werden.Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie, 7. Auflage, Springer, Berlin 2009, Seite 129–132. ISBN 978-3-540-69372-7.

Relevant für den Ausgang eines wiederholten Spiels ist,

ob es endlich oder unendlich oft wiederholt wird,

ob das zugrunde liegende Stufenspiel nur ein Nash-Gleichgewicht oder mehrere Gleichgewichte besitzt und

ob Auszahlungen diskontiert werden oder nicht.Siegfried Berninghaus, Siegfried K Berninghaus, Karl-Martin Ehrhart: Strategische Spiele: Eine Einführung in die Spieltheorie, 3. Auflage, Springer, Berlin 2010, Seite 348.

Endliche Wiederholung

Wird ein statisches Spiel, z. B. das Gefangenendilemma, mit absehbarem Ende mehrmals hintereinander von den gleichen Spielern wiederholt, spricht man von einem endlich oft wiederholten Spiel. Dabei ist die Unterscheidung von eindeutigem und multiplen Nash-Gleichgewichten von großer Bedeutung für den Spielausgang. Dies wird im Folgenden anhand von 2 Beispielen verdeutlicht:

Eindeutiges Nash-Gleichgewicht

Angenommen, das zugrunde liegende Stufenspiel (Gefangenendilemma), mit dem eindeutigen Nash-Gleichgewicht (D,d), wird zweimal hintereinander gespielt:

Spieler 1/Spieler 2 Defektieren (d) Kooperieren (c) Defektieren (D) (1, 1) (5, 0) Kooperieren (C) (0, 5) (4, 4)

In der ersten Runde bestimmen die Spieler gleichzeitig, ob sie „kooperieren“ oder „defektieren“. Nach Ende der ersten Runde werden die Entscheidungen der Spieler bekanntgegeben. Daraufhin wird das Stufenspiel wiederholt.Gernot Sieg: Spieltheorie, 3. Auflage, Oldenbourg, München 2010, Seite 56

Die Auszahlung ergibt sich nach dem Ausgang der zweiten Runde aus der Summe der Gleichgewichtsauszahlungen der einzelnen Runden:

Spieler 1/Spieler 2 Defektieren (d) Kooperieren (c) Defektieren (D) (2, 2) (6, 1) Kooperieren (C) (1, 6) (5, 5)

mini|400px|2x wiederholtes Gefangenendilemma in Extensivform

Analyse des Spiels durch Rückwärtsinduktion:

Das vorliegende Spiel enthält 4 echte Teilspiele, die jeweils ab der zweiten Runde beginnen (siehe Grafik-Spielbaum).

2. Runde: Unabhängig von dem Spielausgang der ersten Runde wird in allen vier Teilspielen immer das Nash-Gleichgewicht (D, d) gespielt.

1. Runde: Die Auszahlung der zweiten Runde (1,1) wird zur Auszahlung der ersten Runde hinzu addiert, da die Entscheidung der ersten Runde keinen Einfluss auf den Spielausgang hat.

Das einzige Nash-Gleichgewicht entsteht, wenn beide Spieler in jeder Runde defektieren. Deshalb sollte auch in der ersten Runde nicht kooperiert werden. Dies resultiert daraus, dass in der zweiten Runde abweichendes Verhalten nicht sanktioniert werden kann. Kooperation kann in einem 2x2 Gefangenendilemma aus rationaler Sicht nicht erreicht werden.

Definition (Reinhard Selten 1965): Ein Nash-Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn die Strategien der Spieler in jedem Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht bilden.Robert Gibbons: A Primer in Game Theory, First Edition, Financial Times, Harlow 1992, Seite 95. ISBN 978-0-745-01159-2.

Das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht (grün) entsteht, wenn beide Spieler in jeder Runde „defektieren“:

Strategie Sp. 1: (D1, D2D2D2D2),

Strategie Sp. 2: (d1, d2d2d2d2),

wobei (D1,d1) die Strategienkombination der 1. Runde und (D2D2D2D2, d2d2d2d2) die Strategienkombination an jedem Teilspiel der 2. Runde bezeichnet.

Resultat: Wenn das Stufenspiel ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht besitzt, dann hat das wiederholte Spiel G(T), für T endlich, ein eindeutiges teilspielperfektes Gleichgewicht, nämlich die Wiederholung des Nash-Gleichgewichts des Stufenspiels in jeder Runde.Robert Gibbons: A Primer in Game Theory, First Edition, Financial Times, Harlow 1992, Seite 84

Multiple Nash-Gleichgewichte

Das ursprüngliche Gefangenendilemma wird im Folgenden um eine Zusatzstrategie erweitert, wobei ein weiteres Nash-Gleichgewicht entsteht. Angenommen, das Stufenspiel (erweitertes Gefangenendilemma) mit zwei reinen Nash-Gleichgewichten (D,d) und (E,e) wird zweimal hintereinander gespielt:

Spieler 1/Spieler 2 Defektieren (d) Kooperieren (c) Zusatzstrategie (e) Defektieren (D) (1, 1) (5, 0) (0, 0) Kooperieren (C) (0, 5) (4, 4) (0, 0) Zusatzstrategie (E) (0, 0) (0, 0) (3, 3)

In der ersten Runde bestimmen die Spieler gleichzeitig ihre Strategie. Im Anschluss werden die Entscheidungen der Spieler bekanntgegeben. Daraufhin wird das Stufenspiel wiederholt. Auch im erweiterten Spiel G(2) existiert Teilspielperfektheit, wenn unabhängig vom Spielverlauf in jeder Runde das Nash-Gleichgewicht (D,d) gewählt wird (siehe eindeutiges Gleichgewicht). Es gibt allerdings noch weitere teilspielperfekte Gleichgewichte in G(2), welche mit Hilfe von Rückwärtsinduktion ermittelt werden können:

2. Runde: Unabhängig vom Spielausgang der ersten Runde wird in allen neun Teilspielen immer ein Nash-Gleichgewicht gespielt. Da im vorliegenden Spiel zwei Gleichgewichte existieren, wovon eines eine höhere Auszahlung ergibt (E,e) und eines eine niedrigere (D,d), kann in dieser Runde die Entscheidung der ersten Runde sanktioniert oder belohnt werden.

1. Runde: In der ersten Runde antizipieren die Spieler, dass in der 2. Runde ein Nash-Gleichgewicht des Teilspiels gespielt wird. Da zwei Nash-Gleichgewichte existieren, ist es für die Spieler möglich durch die Wahl der Strategie in dieser Runde den Spielausgang zu beeinflussen. Dies ist abhängig vom Diskontfaktor . Je näher der Wert bei 1 liegt, desto eher kooperieren die Spieler, da Auszahlungen in weiteren Runden höher gewichtet werden. Für gegen 0, verhält es sich genau entgegengesetzt.

Kooperation wird hier ermöglicht, aufgrund von glaubwürdiger Androhung das „schlechtere“ Nash-Gleichgewicht (D,d) in der zweiten Runde zu spielen, falls in der ersten Runde abgewichen wurde. Eine Abweichung von der Strategie (C,c) bringt zwar in der 1. Runde eine höhere Auszahlung für den abweichenden Spieler, jedoch insgesamt eine geringere: (C,c)+(E,e)=(7,7) bei Kooperation und (D,c)+(D,d)=(6,1) bzw. (C,d)+(D,d)=(1,6) bei einseitigem Abweichen. Auch wenn in beiden Runden die Zusatzstrategie (E,e) gespielt wird, fällt die Auszahlung geringer aus (6,6)<(7,7).

Resultat: Bei einem endlich wiederholten Spiel mit mehreren Nash-Gleichgewichten können Gleichgewichte bestehen, in denen Strategien gewählt werden, die im Stufenspiel keine Nash-Gleichgewichte bilden, wie zum Beispiel die Pareto-optimale Strategienkombination (C,c).Robert Gibbons: A Primer in Game Theory, First Edition, Financial Times, Harlow 1992, Seite 84–88.

Unendliche Wiederholung

Im Gegensatz zu endlich häufigen Wiederholungen, kann es bei unendlich oft bzw. unbestimmt oft wiederholten Spielen profitabel sein mit seinem Gegenspieler zu kooperieren. Jeder Spieler maximiert bei unendlichem Zeithorizont den Gegenwartswert seiner diskontierten Auszahlungen mit . Eine Analyse des Spiels mit Hilfe der Rückwärtsinduktion ist nun auf Grund des Fehlens einer definitiv letzten Runde nicht mehr möglich. Das entstehende Spiel komplett zu analysieren ist wegen der sehr hohen Zahl an möglichen Strategien sehr aufwendig. Man muss sich deswegen auf die Formulierung einiger expliziter Strategien beschränken.Thomas Riechmann: Spieltheorie, 3. Auflage, Vahlen, München 2010, Seite 146–148.

Trigger-Strategie

Trigger-Strategien sind die bekanntesten Strategien bei unendlichen Spielen. Sie sind durch folgende Merkmale gekennzeichnet:

Das Spiel beginnt mit gegenseitiger Kooperation. Es wird solange kooperiert, bis mindestens einer der Spieler defektiert. Daraus folgt als Bestrafung Defektion in den nachfolgenden Runden.Joachim Zentes: Kooperationen, Allianzen und Netzwerke: Grundlagen - Ansätze - Perspektiven. 2. Auflage, Gabler, Wiesbaden 2005, Seite 129. ISBN 978-3-409-21985-3.

Relevant für den Spielausgang ist, neben der Auswahl einer Strategie, die Reputation der Spieler. Durch wiederholte Interaktion ist es möglich zu kooperieren und einen Pareto-optimalen Zustand zu erreichen. steht für die Auszahlung, wenn in einer Runde die vereinbarte Strategie gespielt wird. steht für die Auszahlung, wenn sich alle Spieler über t Runden an die vereinbarte Strategie halten. Weicht allerdings einer der beiden Spieler von der Kooperation ab, weil einseitiges Defektieren kurzfristig eine höhere Auszahlung einbringen kann, wird in den Folgerunden nicht mehr kooperiert und folglich nur noch eine Auszahlung von erreicht, wobei für die Strategie steht, in der das Nashgleichgewicht des Stufenspiels gespielt wird. Bei einem unendlich andauernden Spiel ist eine langfristige Betrachtung von Bedeutung. Die Spieler diskontieren ihre Auszahlung mit einem Faktor . Für den Fall, dass der diskontierte Wert zukünftiger Rundengewinne bei Kooperation den Wert der einmaligen Abweichung und anschließend fortdauernder Defektion übertrifft, wird bei rationalem Verhalten der Spieler kooperiert. Folglich kann es für die Spieler sinnvoll sein, von einem kurzfristig höheren Gewinn abzusehen, um langfristig höhere Auszahlungen zu erzielen.

Auszahlung, wenn sich alle Spieler an die Vereinbarungen halten:

Auszahlung für den Abweichler:

Eine Abweichung auf ist folglich nicht vorteilhaft, falls gilt:

Es gibt unter anderem folgende Abwandlungen der Trigger Strategien: