mini|300px|Welchen Einfluss hat Bildung auf das Einkommen einer Person?Paneldaten und für sie entwickelte Modelle werden zur Beantwortung solcher und anderer Fragen benutzt.

Lineare Paneldatenmodelle sind statistische Modelle, die bei der Analyse von Paneldaten benutzt werden, bei denen mehrere Individuen über mehrere Zeitperioden beobachtet werden. Paneldatenmodelle nutzen diese Panelstruktur aus und erlauben es, unbeobachtete Heterogenität der Individuen zu berücksichtigen. Die beiden wichtigsten linearen Paneldatenmodelle sind das Paneldatenmodell mit festen EffektenLudwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang: Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen. Springer Verlag 2009, S. 253 ( fixed effects model) und das Paneldatenmodell mit zufälligen EffektenLudwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang: Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen. Springer Verlag 2009, S. 253 ( random effects model). Die beiden Modelle unterscheiden sich in den Annahmen, die an den Fehlerterm des Modells gestellt werden und erlauben die Herleitung verschiedener Schätzer. Anwendungsgebiete von linearen Paneldatenmodellen finden sich vor allem in der Empirischen Sozialforschung.

Grundlagen Bei der Auswertung statistischer Daten sollen aus einer endlichen Menge an Daten Aussagen über die zugrundeliegende Verteilung von Merkmalen in einer Grundgesamtheit ermittelt werden. Man versucht, die unbekannten Parameter dieser Grundgesamtheit mit Hilfe von Schätzern zu ermitteln. Eine typische Anwendung ist die Schätzung des Effekts einer Variablen auf eine andere Variable (siehe auch Regressionsanalyse). Ein Beispiel hierfür wäre die in der Arbeitsökonomik relevante Frage nach dem Effekt von Bildung () auf das Einkommen einer Person (). Für einen Überblick hierzu, siehe unter anderem David Card: Estimating the Return to Schooling: Progress on Some Persistent Econometric Problems, Econometrica, 69.5, September 2001, S. 1127–1160

Ein Schätzer ist eine Zufallsvariable, was zu Unschärfe bei den ermittelten Parametern führt (siehe auch Verteilungsfunktion und Varianz). Deswegen wird selbst im Idealfall der „wahre Wert“ des unbekannten Parameters nicht erreicht, sondern nur Näherungswerte.

Die Fähigkeit, den wahren Wert zumindest im Erwartungswert zu erreichen (Erwartungstreue) oder für große Stichproben gegen ihn zu konvergieren (Konsistenz), sowie die Varianz des Schätzers um den wahren Wert sind deswegen wichtige Eigenschaften eines Schätzers. Die Methode der kleinsten Quadrate ist eine weit verbreitete Methode, um Schätzer zu konstruieren, die unter den Gauß-Markow-Annahmen konsistent und effizient sind. Werden jedoch relevante Größen nicht in die Regression mit aufgenommen, so können Endogenität, Heteroskedastie und Autokorrelation entstehen, wodurch die Kleinste-Quadrate-Schätzung ihre wünschenswerten Eigenschaften verliert und ineffizient oder sogar inkonsistent wird. Durch die Nutzung von Paneldaten und Paneldatenmodellen können Schätzer hergeleitet werden, die diese Probleme lösen.

Eine typische Gleichung eines linearen Paneldatenmodelles für ein Panel mit Individuen und Zeitperioden hat die Form

.

Dabei stellt die Ausprägung der erklärten/abhängigen Variable für Individuum und Zeitperiode dar. ist ein Vektor, der die Ausprägungen der erklärenden/unabhängigen Variablen enthält. Als Beispiel könnte das Einkommen einer Person im Jahr sein. Variablen im Vektor wären dann jene Faktoren, die einen Einfluss auf das Einkommen einer Person haben, wie Alter, Arbeitserfahrung, ob eine Person arbeitslos ist oder nicht, Geschlecht, Nationalität oder die Anzahl besuchter Fortbildungsseminare. Die im Vektor zusammengefassten Variablen sind allesamt beobachtbar und stehen in dem Datensatz zur Verfügung. Neben diesen Variablen gibt es jedoch noch weitere Faktoren, die nicht oder nur sehr schwer beobachtet werden können und deswegen nicht im Datensatz zur Verfügung stehen. Diese Faktoren werden durch die Terme und repräsentiert. stellt dabei einen Sammelterm für all jene unbeobachteten Variablen dar, die sich über Zeit und Personen unterscheiden, zum Beispiel die Gesundheit einer Person im Jahr . steht für die unbeobachteten Variablen, die sich zwischen Personen unterscheiden, für eine gegebene Person aber über die Zeit konstant sind. Beispiele hierfür wären die grundsätzlichen Wertvorstellungen einer Person oder ihre Intelligenz/Fähigkeit. Die Terme sind unter anderem als „unbeobachtete Heterogenität“, „latente Variable“ oder „individuelle Heterogenität“ bekannt. Wooldridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, 2002, S. 251 Denkbar wäre auch, als dritten unbeobachteten Term einen zwischen Personen konstanten, aber sich über die Zeit ändernden Term anzunehmen, der für unbeobachtete Variablen steht, die sich über die Zeit ändern, aber alle Individuen gleich betreffen, zum Beispiel die konjunkturelle Entwicklung.

Alternativ zur obigen Schreibweise findet auch oft eine Matrizenschreibweise Anwendung, bei der die einzelnen Gleichungen quasi „übereinander“ gestellt werden. Dies ergibt dann das Modell

.

Dabei ist ein Vektor mit den Ausprägungen der erklärten Variable, eine Matrix mit den Ausprägungen der erklärenden Variablen. ist ein Vektor mit den Koeffizienten der erklärenden Variablen, und und sind Vektoren mit den Fehlertermen.

Die beiden wichtigsten linearen Paneldatenmodelle sind das Modell mit festen Effekten und das Modell mit zufälligen Effekten. Der zentrale Unterschied zwischen diesen beiden Modellen ist, welche Annahme an die Korrelation zwischen der individuellen Heterogenität und den beobachteten erklärenden Variablen getroffen wird.

Beispiel Ein Beispiel für die Anwendung von Modellen mit zufälligen und Modellen mit festen Effekten und ihren Schätzern findet man in der oben genannten Frage nach dem Einfluss von Bildung auf das Einkommen einer Person. Wie oben erwähnt wäre das jährliche Einkommen einer Person die erklärte Variable; erklärende Variablen wären zum einen die Bildung (gemessen in Jahren oder in abgeschlossenen Klassen/Kursen), deren Effekt gemessen werden soll. Daneben müssten noch alle Variablen in die Regression mit aufgenommen werden, die sowohl mit dem Einkommen als auch mit der Bildung korreliert sind. Exemplarisch wären hier das Alter, die Berufserfahrung oder die Bildung der Eltern zu nennen. Daneben ist es möglich, dass andere relevante Faktoren (zum Beispiel die Intelligenz, die Gesundheit oder die Werthaltung einer Person) nicht erfasst werden – es wird also individuelle Heterogenität bestehen. Eine mögliche zu schätzende Gleichung wäre

wobei einen Vektor mit zusätzlichen Kontrollvariablen wie Alter, Erfahrung und ähnlichem darstellt. Die Variable umfasst dabei nicht nur die vor Berufsbeginn abgeschlossene Bildung, sondern auch später erworbene Abschlüsse.Siehe hierzu zum Beispiel Joshua D. Angrist und Whitney K. Newey: Over-Identification Tests in Earnings Functions with Fixed Effects, Journal of Business and Economic Statistics 9.3, S. 321 wird hierbei alle Effekte auffangen, die bei einem Individuum über die Zeit konstant sind, aber nicht als Kontrollvariablen in die Regression mit aufgenommen werden können, etwa weil sie nicht direkt beobachtbar sind. Wie bereits erwähnt, ist die Intelligenz der beobachteten Individuen ein Beispiel dafür. Diese wird wahrscheinlich eine Auswirkung auf den Verdienst eines Individuums haben und wird darüber hinaus auch mit der Bildung korreliert sein. Intelligenz kann aber nur schwer gemessen und folglich nur schwer als Kontrollvariable in die Regression mit aufgenommen werden. Ähnliches gilt für andere unbeobachtete, aber relevante Variablen, die gemeinsam die „individuelle Heterogenität“ bilden. Die Korrelation zwischen dieser Heterogenität und den erklärenden Variablen ist der zentrale Unterschied zwischen dem Modell mit zufälligen und dem mit festen Effekten. Besteht keine solche Korrelation, so wird das Modell mit zufälligen Effekten verwendet. Das Modell mit festen Effekten kommt zum Einsatz, wenn die individuelle Heterogenität mit erklärenden Variablen korreliert ist.

Modell mit zufälligen Effekten Grundlagen Das Modell mit zufälligen Effekten (zur Abgrenzung manchmal auch Modell mit zufälligem AchsenabschnittCameron & Trivedi, Microeconometrics, 2005, S. 700 genannt) macht die Annahme, dass die unbeobachtete Heterogenität orthogonal zu den erklärenden Variablen steht, d. h. nicht mit den erklärenden Variablen korreliert:

Darüber hinaus muss auch strikte Exogenität des Fehlerterms angenommen werden: . Wooldridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, 2002, S. 257 Unter diesen Annahmen kann die individuelle Heterogenität als ein weiterer Fehlerterm gesehen werden, d. h. das zu schätzende Modell kann umgeschrieben werden als

mit .

Aufgrund der obigen Annahmen ist dann für . Wooldridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, 2002, S. 258

Das Modell mit zufälligen Effekten erfüllt also die Anforderung, dass der Fehlerterm der Regression und die erklärenden Variablen unkorreliert sind. Aus diesem Grund würde eine gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzung zu konsistenten Schätzern für führen. Aufgrund der individuellen Heterogenität erfüllt das Modell mit zufälligen Effekten allerdings die Annahme der Unkorreliertheit der Fehlerterme nicht. Selbst wenn

und

Konstanten sind und die idiosynkratischen Fehlerterme unkorreliert sind (, ), wird zwischen den zusammengesetzten Fehlertermen des gleichen Individuums für verschiedene Zeitpunkte eine Korrelation bestehen: Wooldridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, 2002, S. 258f. Aus diesem Grund wird die Varianz-Kovarianzmatrix eine -Diagonalmatrix sein, gegeben durch

,

wobei die einzelnen Diagonalelemente gegeben sind durch -Matrizen

.

Die Matrix ist also keine Diagonalmatrix, sondern eine Blockdiagonalmatrix. Die besondere Struktur mit nur zwei Parametern ( und ) wird auch als RE-Struktur bezeichnet. Wooldridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, 2002, S. 259

Auf Basis dieses Modells können dann mehrere Schätzer hergeleitet werden, die konsistent und gegebenenfalls auch effizient sind.

Schätzer im Modell mit zufälligen Effekten Kleinste-Quadrate-Schätzung Wie oben ausgeführt, sind im Modell mit zufälligen Effekten der zusammengesetzte Fehlerterm und die erklärenden Variablen unkorreliert, weswegen die Methode der Kleinsten Quadrate zu konsistenten Schätzungen führt. Im Zusammenhang mit Paneldaten wird die Kleinste-Quadrate-Schätzung (engl. ordinary least squares estimation, kurz OLSE) auch als gepoolte Kleinste-Quadrate-Schätzung (engl. pooled OLS) bezeichnet, weil die Paneldaten gepoolt (über beide Gruppen zusammengefasst) werden, d. h. die Zeitstruktur der Paneldaten außer Acht gelassen und das Modell anhand der gepoolten Daten mit der Kleinste-Quadrate-Schätzung geschätzt wird.Cameron & Trivedi, Microeconometrics, 2005, S. 702

Eine Matrix mit der RE-Struktur erfüllt allerdings die für den Satz von Gauß-Markow zentrale Annahme der Unkorreliertheit der Fehlerterme nicht, die eine diagonale Varianz-Kovarianzmatrix mit konstantem Diagonalelement erfordert. Die Kleinste-Quadrate-Schätzung ist im Modell mit zufälligen Effekten deswegen nicht notwendigerweise effizient. Darüber hinaus sind die Kleinste-Quadrate-geschätzten Standardfehler nicht korrekt, eben, weil dabei die Korrelation über Zeit ignoriert wird. Für Inferenz und Hypothesentests müssten die Standardfehler also angepasst werden. Cameron & Trivedi, 2005, Microeconometrics, S. 703

Schätzer für zufällige Effekte mini|300px|Vergleich der Kleinste-Quadrate-Schätzung (rot) mit dem Schätzer für zufällige Effekte (blau), wenn die Annahmen des RE-Modells erfüllt sind. Sowohl der Kleinste-Quadrate-Schätzer als auch der Schätzer für zufällige Effekte sind um den wahren Parameterwert von 5 zentriert, der Schätzer für zufällige Effekte weist aber eine deutlich geringere Varianz auf.