Eine selbstadjungierte Matrix ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Es handelt sich um eine spezielle Art von quadratischen Matrizen. Sind die Koeffizienten einer selbstadjungierten Matrix reell, so ist sie gerade eine symmetrische Matrix, und sind die Koeffizienten komplex, so ist sie eine hermitesche Matrix.
Definition
Sei der reelle oder komplexe Zahlenkörper und sei das Standardskalarprodukt auf . Eine Matrix heißt selbstadjungiert, wenn
für alle gilt. Die Matrix wird hier als lineare Abbildung auf dem aufgefasst.
Beispiele
Die Matrix
mit als der imaginären Einheit ist selbstadjungiert bezüglich des Standardskalarproduktes auf wegen
Die Pauli-Matrizen
sind selbstadjungiert.
Eigenschaften
Eine reelle Matrix ist genau dann selbstadjungiert, wenn sie symmetrisch ist, also wenn gilt, da
.
Analog dazu ist eine komplexe Matrix genau dann selbstadjungiert, wenn sie hermitesch ist, also wenn gilt, da
.
Jede selbstadjungierte Matrix ist auch normal, das heißt, es gilt
.
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Siehe auch Selbstadjungierter Operator für die Verallgemeinerung des Begriffs auf lineare Operatoren
Einzelnachweise
Weblinks
Kategorie:Matrix