Cliquenweite

Die Cliquenweite ist ein Begriff aus der Graphentheorie und ordnet jedem ungerichteten Graphen eine natürliche Zahl zu. Sie ist daher ein Graphparameter. Mit Hilfe eines k-Ausdrucks (s. u.) lassen sich viele NP-vollständige Probleme wie zum Beispiel HAMILTONKREIS oder CLIQUE und das damit eng verwandte UNABHÄNGIGE MENGE in Zeit lösen, was für konstante eine lineare Laufzeit ist. Da jedoch nicht bekannt ist, ob ein k-Ausdruck hinreichend schnell berechnet werden kann, ist es zur Zeit unklar, ob man hieraus folgern kann, dass diese Probleme auf Graphen mit beschränkter Cliquenweite effizient zu lösen sind.

Definition Der Begriff der Cliquenweite eines Graphen wurde erstmals von Bruno Courcelle und Stephan Olariu eingeführtBruno Courcelle, Stephan Olariu: Upper bounds to the clique width of graphs, Discrete Applied Mathematics 101 (1–3): 77–144, 2000, . Für die Definition der Cliquenweite muss zunächst der Begriff des k-markierten Graphen eingeführt werden:

k-markierter Graph Für ein sei Ein k-markierter Graph ist ein Graph , dessen Knoten mit einer Markierungsabbildung markiert werden Ein Graph mit genau einem mit markierten Knoten wird mit bezeichnet

Cliquenweite Ein -markierter Graph hat eine Cliquenweite von höchstens , wenn in der Graphklasse enthalten ist. Dabei ist induktiv wie folgt definiert:

Der -markierte Graph (ein Graph bestehend aus einem Knoten mit Markierung ) ist in für alle Seien und knotendisjunkte -markierte Graphen. Dann ist ihre disjunkte Vereinigung in , mit

Seien mit und ein -markierter Graph. Es sind der -markierte Graph, der aus G entsteht, indem die Markierung aller mit markierten Knoten durch eine Markierung mit ersetzt wird in mit    der -markierte Graph, der aus G entsteht, indem alle mit markierten Knoten verbunden werden mit allen Knoten, die mit markiert sind. in mit

Die Cliquenweite eines markierten Graphen ist die kleinste natürliche Zahl mit und wird mit bezeichnet.

Ein Ausdruck , der sich aus den Operationen , , und , wobei , zusammensetzt, wird als Cliquenweite-k-Ausdruck oder k-Ausdruck bezeichnet.

Beispiel Der ungerichtete Graph mit 6 Knoten hat eine Cliquenweite von 3, da er sich mit den folgenden Operationen erzeugen lässt:

mini|350px|3-Ausdrucksbaum für die Konstruktion des

Cliquenweite-Operation Visualisierung des Graphen 25px 25px 70px 70px 70px 90px 90px 90px 110px 110px

Der zugehörige -Ausdruck ist

Rechts ist der entsprechende 3-Ausdrucksbaum für abgebildet.

Cliquenweite spezieller Graphklassen Obwohl das Bestimmen der Cliquenweite eines Graphen im Allgemeinen NP-vollständig ist, lässt sich die Cliquenweite von gewissen Graphen mit speziellen Eigenschaften zumindest nach oben abschätzen. Es existieren die folgenden Zusammenhänge:

Jeder vollständige Graph hat eine Cliquenweite von höchstens 2 Jeder Weg hat eine Cliquenweite von höchstens 3 Auch Bäume und distanzerhaltende Graphen haben eine Cliquenweite von höchstens 3

Weiterhin ist bekannt, dass Co-Graphen eine Cliquenweite von höchstens 2 haben und dass jeder Graph mit einer Cliquenweite von höchstens 2 ein Co-Graph ist.

Zusammenhang zwischen Cliquenweite und Baumweite Es existieren mehrere Zusammenhänge zwischen der Cliquenweite und der Baumweite eines ungerichteten Graphen .

Die folgende Aussage zeigt, dass sich durch nach oben abschätzen lässtDerek Corneil, Udi Rotics: On the Relationship between Clique-Width and Treewidth, Lecture Notes in Computer Science, 2001, Volume 2204/2001, 78–90, :

Umgekehrt hingegen lässt sich die Baumweite eines Graphen im Allgemeinen nicht durch seine Cliquenweite beschränken, wie man sich leicht am Beispiel vollständiger Graphen überlegen kann:

Der vollständige Graph mit Knoten hat eine Baumweite von und eine Cliquenweite von höchstens 2. Somit gilt für alle mit :

.

Allerdings lässt sich unter gewissen Umständen auch die Baumweite durch die Cliquenweite nach oben abschätzen.

Besitzt keinen vollständig bipartiten Graphen als Teilgraphen, so gilt die folgende AussageFrank Gurski, Egon Wanke: The Tree-Width of Clique-Width Bounded Graphs without , Lecture Notes in Computer Science, 2000, Volume 1928/2000, 221–232, :

Zusammenhang zwischen Cliquenweite und NLC-Weite Die Cliquenweite lässt sich sowohl nach unten als auch nach oben durch die NLC-Weite abschätzen:

Einzelnachweise

Literatur Bruno Courcelle, Stephan Olariu: Upper bounds to the clique width of graphs, Discrete Applied Mathematics 101 (1–3): 77–144, 2000, doi:10.1016/S0166-218X(99)00184-5 Frank Gurski, Irene Rothe, Jörg Rothe, Egon Wanke: Exakte Algorithmen für schwere Graphenprobleme, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2010, ISBN 978-3-642-04499-1 Jörg Rothe: Komplexitätstheorie und Kryptologie, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79744-9

Kategorie:Graphentheorie