Die Formale Begriffsanalyse (kurz FBA) (, kurz FCA) ist eine mathematische Theorie. Sie liefert eine Methodik, um Zusammenhänge in gegebenen Datenmengen zu erkennen. Typisch dafür sind hierarchische Beziehungen zwischen Begriffen. Die Formale Begriffsanalyse kann als angewandte Ordnungs- und Verbandstheorie verstanden werden.
Die formale Begriffsanalyse findet praktische Anwendung z. B. in Data- und Text Mining, Wissensmanagement, Semantic Web, Software Engineering, Wirtschaft und Bioinformatik.Siehe Abschnitt #Anwendungserfahrungen mit der Formalen Begriffsanalyse für Beispiele
Einführung Die Formale Begriffsanalyse untersucht Zusammenhänge in Datensammlungen und macht Strukturen in den Daten deutlich. Dabei werden Gegenstände (z. B. beschrieben durch Datensätze) aufgrund gemeinsamer Merkmale zu Gruppen zusammengefasst. Innerhalb solcher Gruppen wird dann aufgrund weiterer Merkmale weiter unterteilt. Daraus ergibt sich eine hierarchische Struktur, die in Form eines netzartigen Ordnungsdiagramms veranschaulicht werden kann. Ziel ist eine mathematisch fundierte Methodik, die dem begrifflichen Denken des Menschen entgegenkommt.
Umfang, Inhalt und Begriff Jede durch gemeinsame Merkmale bestimmte Menge von Gegenständen wird als ein Begriffsumfang gedeutet, die zugehörige Menge aller gemeinsamen Merkmale als Begriffsinhalt. Beide Teile zusammen, also jeweils ein Umfang und der zugehörige Inhalt, bilden einen formalen Begriff, wobei der Zusatz „formal“ darauf hinweist, dass es sich um eine mathematische Konstruktion handelt. Ein formaler Begriff ist also immer sowohl durch seinen Umfang als auch durch seinen Inhalt eindeutig bestimmt.
Ober- und Unterbegriff Ein formaler Begriff ist ein Unterbegriff eines zweiten formalen Begriffs, wenn sein Umfang ganz im Umfang des zweiten enthalten ist. Dann ist der Inhalt des Oberbegriffs (also des Begriffs mit dem größeren Umfang) im Inhalt des Unterbegriffs enthalten.Ein Unterbegriff ergibt sich, wenn ein formaler Begriff durch zusätzliche Merkmale weiter spezifiziert ist. Daraus ergibt sich, dass die Gegenstände, die zum Unterbegriff gehören auch zum Oberbegriff gehören. Umgekehrt sind alle Merkmale des Oberbegriffs auch Merkmale des Unterbegriffs.
Bezug zur mathematischen Verbandstheorie Diese Unterbegriff-Oberbegriff-Ordnung der formalen Begriffe erweist sich als eine Ordnungsstruktur. Sie ist in aller Regel netzartig verzweigt, also gewöhnlich nicht baumartig oder gar linear. Es kann aber bewiesen werden, dass diese Ordnungen besondere und gut untersuchte Eigenschaften haben: Es handelt sich dabei stets um sogenannte vollständige Verbände (engl.: complete lattices).
Ein Begriff kann mehrere Oberbegriffe haben, z. B. vereinigt der Begriff Greifvogel die Merkmale sowohl von seinem Oberbegriff Vogel als auch die seines zweiten Oberbegriffs Beutegreifer.
Entstehung Die Theorie in ihrer heutigen Form geht zurück auf die Darmstädter Forschungsgruppe um Rudolf Wille, Bernhard Ganter und Peter Burmeister, in der Anfang der 1980er Jahre die Formale Begriffsanalyse entstand. Die mathematischen Grundlagen wurden jedoch bereits von Garrett Birkhoff in den 1930er Jahren im Rahmen der allgemeinen Verbandstheorie geschaffen. Vor den Arbeiten der Darmstädter Gruppe gab es bereits Ansätze in verschiedenen französischen Gruppen. Einfluss auf die Entstehung der Formalen Begriffsanalyse hatten Schriften von Charles S. Peirce und Hartmut von Hentig.
Motivation und philosophischer Hintergrund Im Artikel Restructuring Lattice Theory (1982), der die Formale Begriffsanalyse als Disziplin begründete, wird als Motivation das Unbehagen an der Verbandstheorie und der Reinen Mathematik allgemein genannt: Die oft durch „geistigen Hochleistungssport“ erreichte Produktion theoretischer Resultate sei beeindruckend, die Verknüpfungen zwischen benachbarten Gebieten und sogar Teilen einer Theorie würden jedoch schwächer.
Dieses Ziel bezieht sich auf Hartmut von Hentig, der 1972 eine Restrukturierung der Wissenschaften forderte, „um sie besser lernbar, gegenseitig verfügbar und allgemeiner (d.h. jenseits der Fachkompetenz) kritisierbar zu machen.“ Zitiert nach Somit zielt auch Formale Begriffsanalyse von ihren Ursprüngen her auf Interdisziplinarität und demokratische Kontrolle von Forschung.
Während ein Begriff in der Formalen Logik als einstelliges Prädikat auf seinen Umfang reduziert wird, macht die Formale Begriffsanalyse durch Berücksichtigung auch des Begriffsinhalts die Begriffslehre wieder weniger abstrakt. Damit orientiert sich die Formale Begriffsanalyse an den Kategorien Extension und Intension der Linguistik und der klassischen Begriffslogik.
Klarheit von Begriffen wird im Sinn von Charles S. Peirce’ Pragmatischer Maxime dadurch angestrebt, dass beobachtbare, elementare Eigenschaften der subsumierten Gegenstände entfaltet werden. In seiner Spätphilosophie ging Peirce davon aus, dass logisches Denken auf das Erfassen von Wirklichkeit zielt, durch den Dreischritt Begriff, Urteil und Schluss. Mathematik abstrahiert logisches Denken, entwickelt Formen möglicher Realität und kann daher rationale Kommunikation unterstützen. Rudolf Wille definiert vor diesem Hintergrund:
Eine vergleichbare Motivation lag jedoch historisch früher den Projekten zur Entwicklung analytischer Plansprachen zu Grunde, vgl. auch Universalsprache.
Beispiel Zur Erläuterung der Grundlagen der Formalen Begriffsanalyse dient folgendes bewusst klein gehaltene Beispiel. Es ist Teil einer umfangreicheren Wortfeldstudie, in der Gewässer anhand von Merkmalen in eine Systematik gebracht wurden. Für die hiesigen Zwecke wurde das dort behandelte Beispiel etwas reduziert.
Im Folgenden wird außer der Tabelle auch schon die daraus konstruierbare Grafik, das Liniendiagramm, gezeigt.
+ Beispiel für einen formalen Kontext: „Gewässer“ Gewässer Merkmale temporär fließend natürlich stehend konstant maritim Gegenstände Bach X X X Fluss X X X Haff X X X X Kanal X X Lache X X X Pfuhl X X X Pfütze X X X Rinnsal X X X Strom X X X Maar X X X Meer X X X X See X X X Teich X X X Tümpel X X X Weiher X X
mini|Liniendiagramm entsprechend der Tabelle Gewässer auf der linken Seite.
Ausgangsdaten in Tabellenform Für eine Analyse müssen die zu untersuchenden Daten in Tabellenform vorliegen oder in eine solche Form überführt werden.
In der Tabelle Beispiel für einen formalen Kontext: „Gewässer“ sind verschiedene Gewässerarten als formale Gegenstände in Zeilen aufgelistet. Die dazugehörigen formalen Merkmale bestimmen die Spalten dieser Tabelle.
Weist ein Gegenstand ein bestimmtes Merkmal auf, dann steht am Kreuzungspunkt in der jeweiligen Zeile und Spalte eine Markierung, meist ein „X“. Weist er dieses Merkmal nicht auf oder ist unklar, ob er dieses Merkmal aufweist, dann fehlt diese Markierung.
Reale Welt und formale Strukturen Will man den Unterschied zwischen realen Gegenständen und Merkmalen einerseits und ihren Abstraktionen (den Daten in der Tabelle) andererseits betonen, spricht man bei den Abstraktionen von formalen Gegenständen und formalen Merkmalen. Analog spricht man bei der Gesamtheit der ganzen Tabelle von einem formalen Kontext. Später werden formale Begriffe noch genauer eingeführt.
Häufig entsprechen die formalen Gegenstände realen Gegenständen der Welt und die formalen Merkmale deren realen qualitativen oder quantitativen Eigenschaften. Ein formaler Gegenstand kann aber auch ein Abstraktum darstellen – wie die Gewässerarten in obigem Beispiel. Ebenso kann ein formales Merkmal ein Abstraktum darstellen.
Liniendiagramm Das obige Liniendiagramm enthält Kreise und verbindende Linien. Kreise stellen formale Begriffe dar. An den Linien lässt sich die Unterbegriff-Oberbegriff-Hierarchie ablesen.
Bei der hier verwendeten reduzierten Beschriftung wird jeder Gegenstands- und jeder Merkmalname genau einmal in das Diagramm eingetragen, wobei Gegenstände unterhalb und Merkmale oberhalb von Begriffskreisen stehen. Dies geschieht so, dass ein Merkmal genau dann von einem Gegenstand aus über einen aufsteigenden Linienzug erreichbar ist, wenn der Gegenstand das Merkmal hat.
In dem gezeigten Diagramm hat z. B. der Gegenstand Weiher die Merkmale stehend und konstant, nicht aber die Merkmale temporär, natürlich, fließend und maritim. Entsprechend haben Lache und Pfütze genau die Merkmale temporär, stehend und natürlich.
Zu jedem Begriff kann man seinen Umfang und seinen Inhalt am Liniendiagramm ablesen. Der Umfang eines Begriffs besteht aus den Gegenständen, von denen ein aufsteigender Linienzug zum Kreis des Begriffes führt. Der Begriff, der im Diagramm unmittelbar links neben Weiher steht, hat den Inhalt stehend und natürlich und den Umfang Lache, Pfütze, Pfuhl, Maar, See, Teich, Tümpel, Haff und Meer.
Erweiterungen Zur Formalen Begriffsanalyse gab es weitere Forschungen in unterschiedliche Richtungen. Exemplarisch folgen einige Forschungsansätze und Hinweise auf weiterführende Veröffentlichungen.
Triadische FBA Die Triadische Begriffsanalyse ersetzt die binäre Beziehung zwischen Gegenständen und Merkmalen durch eine ternäre Beziehung zwischen Gegenständen, Merkmalen und Bedingungen. Eine Inzidenz drückt dann aus, dass der Gegenstand das Merkmal unter der Bedingung hat. Obwohl triadische Begriffe in Analogie zu den obigen formalen Begriffen definiert werden können, ist die Theorie der von ihnen gebildeten Tri-Verbände viel weniger weit entwickelt als die der Begriffsverbände und scheint schwierig zu sein.
George Voutsadakis hat den n-stelligen Fall (Polyadische FBA) untersucht.
Fuzzy-Begriffe Fuzzy-Begriffe ergeben sich aus einer Kombination von Formaler Begriffsanalyse mit der Fuzzy-Set-Theorie. Dazu hat es zahlreiche Untersuchungen gegeben. Eine der ersten war die Dissertation von Silke Pollandt. Umfangreich entwickelt wurde die Theorie in der Gruppe um den tschechischen Mathematiker Radim Belohlávek, von der auch eine eigene Tagungsreihe Concept Lattices and Their Applications eingerichtet wurde. Deren Ergebnisse sind frei zugänglich. Einen Einstieg ins Thema bieten die Aufsätze What is a fuzzy concept lattice? und Formal Concept Analysis and Fuzzy Logic."Formal Concept Analysis and Fuzzy Logic". Archived from the original (PDF) on 2017-12-09. Retrieved 2017-12-08.
Temporale Begriffsanalyse Um auch zeitlich veränderliche Vorgänge begrifflich beschreiben zu können, hat Karl Erich Wolff eine temporale Erweiterung der Begriffsanalyse formuliert.
Begriffsalgebren Die Modellierung der Negation von formalen Begriffen ist etwas problematisch, weil das Komplement eines formalen Begriffs nicht notwendigerweise ein formaler Begriff ist. Da der Begriffsverband jedoch vollständig ist, kann man das Supremum aller Begriffe betrachten, welche erfüllen; oder alternativ das Infimum aller Begriffe, welche erfüllen. Diese beiden Operationen werden als schwache Negation bzw. schwache Opposition bezeichnet. Sie können mit Hilfe der Ableitungsoperatoren ausgedrückt werden.
Die schwache Negation kann geschrieben werden als und die schwache Opposition als . Der mit den beiden zusätzlichen Operationen und ausgestattete Begriffsverband wird als Begriffsalgebra eines Kontexts bezeichnet. Begriffsalgebren verallgemeinern Potenzmengen.
Die schwache Negation auf einem Begriffsverband ist eine schwache Komplementation, d. h. eine ordnungsumkehrende Abbildung , die die Axiome und erfüllt.
Die schwache Opposition ist eine duale schwache Komplementation. Ein (beschränkter) Verband, der mit einer schwachen Komplementierung und einer dualen schwachen Komplementierung ausgestattet ist, wird als schwach dikomplementierter Verband bezeichnet. Begriffsalgebren sind davon Beispiele. Schwach dikomplementierte Verbände verallgemeinern distributive orthokomplementierte Verbände, d. h. Boolesche Algebren.
Mathematische Grundlagen