In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis, Teilgebieten der Mathematik, ist ein Orthogonalsystem eine Menge von Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt (Prähilbertraum), die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Sind die Vektoren zusätzlich noch normiert (d. h., sie haben die Norm 1), so spricht man von einem Orthonormalsystem.
Definition Eine Teilmenge eines Prähilbertraums heißt Orthogonalsystem, wenn gilt: Je zwei verschiedene Vektoren aus sind zueinander orthogonal: Der Nullvektor ist nicht in der Menge enthalten. Hier bezeichnet das Skalarprodukt des Raums , im euklidischen Raum also das Standardskalarprodukt.
Gilt zusätzlich Jeder Vektor aus ist normiert, d. h. , so nennt man ein Orthonormalsystem.
Eigenschaften Orthogonalsysteme sind linear unabhängig. In separablen Hilberträumen (insbesondere in allen endlichdimensionalen Hilberträumen) lässt sich mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren aus jedem linear unabhängigen System ein Orthogonalsystem (bzw. Orthonormalsystem) bzw. aus jeder (Schauder-)Basis eine orthogonale (bzw. orthonormale) Basis konstruieren. Für ein Orthonormalsystem gilt die Besselsche Ungleichung
Für jeden Vektor ist die Menge der , für die gilt, höchstens abzählbar.
Beispiele Im mit dem Standardskalarprodukt ist die Standardbasis ein Orthogonalsystem In bilden die Funktionen ein Orthogonalsystem (Siehe auch trigonometrisches Polynom) In mit dem Skalarprodukt bilden die Folgen ein Orthogonalsystem In dem Prähilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5, , versehen mit dem -Skalarprodukt , bilden die Funktionen und ein Orthogonalsystem.
Siehe auch Vollständiges Orthonormalsystem
Literatur Kapitel V.3 (Für den unendlichdimensionalen Fall, dort finden sich auch Beweise für die Beispiele) (Für den endlichdimensionalen Fall, dort unter „Erzeugendensystem“)
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Lineare Algebra