mini|Spielplatzkarussell Der DrallsatzDankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 571. ist in der klassischen Mechanik ein physikalisches Gesetz, demzufolge zur Änderung des Drehimpulses (Dralles) eines Körpers ein Drehmoment an ihm aufgebracht werden muss. Andere Bezeichnungen für den Drallsatz sind Momentensatz,Hier besteht Verwechslungsgefahr mit dem Momentensatz aus der Statik. Drehimpulssatz, ImpulsmomentsatzConrad Eller: Holzmann/Meyer/Schumpich. Technische Mechanik. Kinematik und Kinetik. Springer, 12. Auflage, 2016, S. 127. oder Drehimpulsbilanz.
Ein Anwendungsbeispiel ist das Spielplatzkarussell im Bild. Um dieses in Drehung zu versetzen, muss man es anstoßen. Technisch gesehen bringt man dabei ein Drehmoment auf, das den Drehimpuls des Karussells ändert (der Drehimpuls des anfänglich stillstehenden Karussells war Null). Die Drehimpulserhaltung sorgt dann dafür, dass das Karussell idealerweise seine Drehung beibehält. Kleinere Gegenmomente durch Reibung im Lager und durch den Luftwiderstand verkleinern aber den Drehimpuls, sodass die Drehung des Karussells nach einiger Zeit wieder aufhört (der Drehimpuls des Karussells ist wieder Null).
Die mathematische Formulierung des Drallsatzes lautet:
Darin ist das von außen angreifende Moment, der Drehimpuls des Körpers und seine Zeitableitung, jeweils bezogen auf einen festen Punkt , für den häufig der Ursprung in einem Inertialsystem gewählt wird. Deshalb wird der Index im Weiteren nicht mehr explizit angegeben. Im Spezialfall, wo die äußeren Momente verschwinden, zeigt sich, dass der Drehimpuls erhalten bleibt. Entsprechend steht Drallsatz bzw. Drehimpulssatz auch für Drehimpulserhaltungs-Satz. Die der Drehimpulsänderung entgegengesetzte d’Alembertsche Trägheitskraft macht sich als Kreiselwirkung bemerkbar.
Aus dem Drallsatz folgt das Prinzip von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen oder die Symmetrie des (Cauchy’schen) Spannungstensors. Dieselbe Konsequenz hat auch das Boltzmann-Axiom, demgemäß innere Kräfte in einem Kontinuum momentenfrei sind. Somit sind der Drallsatz, die Symmetrie des Spannungstensors und das Boltzmann-Axiom in der Kontinuumsmechanik verwandte Begriffe.
Insbesondere in der Kreiseltheorie spielt der Drallsatz eine zentrale Rolle. In der Kontinuumsmechanik dient er dazu, den schiefsymmetrischen Anteil des Spannungstensors eindeutig zu bestimmen.
Der Drallsatz ist neben den Newton’schen Gesetzen ein fundamentales und unabhängiges Prinzip und wurde als solches erstmals von Leonhard Euler 1775 vorgestellt.
Geschichte Jakob I Bernoulli wendete 1703 den Drallsatz an – ohne ihn jedoch explizit zu formulieren – um das Oszillationszentrum eines Pendels zu finden, was er bereits auch in einem ersten, etwas unrichtigen Versuch 1686 getan hatte. Clifford Truesdell vermutete daher, dass der Drallsatz, als unabhängiges Gesetz der Mechanik und als kinetische Verallgemeinerung des statischen Gleichgewichtsprinzips der Drehmomente, als erstes von Jakob I Bernoulli 1686 benutzt wurde. Der Drallsatz ginge damit den Newton’schen Gesetzen von 1687 voraus.
Leonhard Euler benutzte in einem 1744 verfassten WerkTruesdell datiert das (in Whence the Law of Moment of Momentum?, p. 254 in Essays in History of Mechanics. Heidelberg, Berlin, New York 1968) auf die Schrift De motu corporum in superficiebus mobilibus, erstmals erschienen 1746: Online: Euler-Archiv:E086. (Zugriffsdatum: 28. Juli 2025). als Erster das Prinzip des Drehmoments, in dessen Reaktion Daniel Bernoulli Eulers Ergebnisse durch die Erhaltung des Drehimpulses reformulierte, um die Bewegungsgleichungen eines rotierenden Starre-Körper-Systems aufzustellen.Siehe Daniel Bernoulli, Nouveau problème de Mécanique Resolu (1745), veröffentlicht 1746 im Histoire de l'Acadadémie des Sciences Berlin (Memoires), p. 54. Online: Histoire 1746 (Zugriffsdatum: 28. Juli 2025).Entsprechende historische Bewertung in Joseph-Louis Lagrange, Mécanique Analytique. Second édition. Tome second (Dynamique), Section 1, p. 186.(Courcier) Paris 1815. Online: Lagrange(1815) (Zugriffsdatum: 28. Juli 2025). Im Jahr 1752 erschienen in der Abhandlung Découverte d'un Nouveau Principe de MécaniqueOnline-Zugriff: Euler-Archiv:E177. (Zugriffs-Datum: 28. Juli 2025). die Kreiselgleichungen, die heute aus dem Drallsatz hergeleitet werden. Euler verwendete in dieser Schrift zur Herleitung neben dem zweiten Newton’schen Gesetz weitere Grundgesetze der Statik starrer Körper, bei denen innere Wechselwirkungen aufgrund der perfekten Starre ausgeschlossen werden.Man vergleiche dazu auch Truesdell (1964), Die Entwicklung des Drallsatzes: S. 154. Erst im Jahr 1775, nach Studien über ebene elastische Kontinua, für die die Bilanz der Momente unentbehrlich ist, erhob Euler den Drallsatz zu einem eigenständigen Prinzip zur Berechnung der Bewegungen von Körpern.
Augustin-Louis Cauchy führte 1822 den Spannungstensor ein, dessen Symmetrie in Kombination mit dem Impulssatz die Erfüllung des Drallsatzes im allgemeinen Fall des deformierbaren Körpers sicherstellt. Die Interpretation des Drallsatzes wurde erstmals 1851 von M. P. Saint-Guilhem erkannt.
Ludwig Boltzmann hat 1905 darauf hingewiesen, dass bei der Zerlegung eines Körpers in (infinitesimal) kleine Volumenelemente die inneren Reaktionen alle statischen Gleichgewichtsbedingungen zu erfüllen haben. Georg Hamel prägte für diese Aussage den Namen Boltzmann-Axiom.
Kinetik der Rotation Die Kinetik beschäftigt sich mit Zuständen, die sich nicht im Gleichgewicht befinden. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz führt eine resultierende äußere Kraft an einem Körper zu einer Geschwindigkeitsänderung (Beschleunigung). Analog dazu bedeutet ein resultierendes äußeres Drehmoment eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit resultierend in einer Winkelbeschleunigung . Das Trägheitsverhalten bezüglich der Rotation hängt nicht nur von der Masse eines Körpers, sondern auch von deren räumlicher Verteilung ab.
Bei einem starren Körper wird dies durch das Trägheitsmoment Θ ausgedrückt. Bei einer Drehung um eine feste Achse gilt für das Drehmoment in Richtung dieser Achse:
Hierbei ist zu beachten, dass das Trägheitsmoment nicht nur von der Position der Drehachse (siehe Steinerscher Satz), sondern auch von ihrer Richtung abhängig ist. Soll die obige Gleichung allgemeiner für jede beliebige Raumrichtung formuliert werden, so muss stattdessen der Trägheitstensor Θ verwenden werden:
siehe unten. Das Rechenzeichen „ד steht für das Kreuzprodukt.
Im zweidimensionalen Spezialfall bewirkt ein Drehmoment lediglich eine Beschleunigung oder Abbremsung einer Rotationsbewegung. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall kann es hingegen auch die Richtung der Rotationsachse verändern (siehe z. B.: Präzession).
Die vielfältigen Analogien in der Kinetik von Translation und Rotation sind bei Rotation angegeben.
Formulierungen Drallsatz in der Punktmechanik mini|hochkant=1.8|Zusammenhang von Kraft , Drehmoment , Impuls und Drehimpuls bei der Drehschwingung eines Massenpunktes Der Zusammenhang zwischen Impulssatz und Drallsatz wird in der Punktmechanik deutlich.
Ein Körper sei dazu durch n Massenpunkte mk an den Orten gegeben. An diesem gegen andere Massen abgegrenzten System, sind zwei Arten von Kräften zu unterscheiden: Zum einen gibt es die inneren Kräfte , die zwischen jeweils zwei zum System gehörenden Massenpunkten und wirken und daher immer paarweise entgegengesetzt auftreten, siehe Actio und Reactio. Zum anderen gibt es die äußeren Kräfte , die zwischen Systemmassen und einer sich außerhalb des Systems befindenden Masse wirken und die daher am System nur einmal auftreten. Dann lautet der Impulssatz für jeden einzelnen Massenpunkt
(). Der Drall des Körpers um den Ursprung ist die Summe der Drehimpulse der Massenpunkte gemäß
und die Zeitableitung davon ergibt sich zu
Die Beschleunigungen können mit dem Impulssatz durch die angreifenden Kräfte ausgedrückt werden:
weil die inneren Kräfte gemäß immer paarweise entgegengesetzt an zwei wechselwirkenden Massenpunkten und auftreten.
Massenpunkte lassen nur Zentralkräfte zu, und Siméon Denis Poisson bewies 1833, dass ein System sich paarweise im Gleichgewicht haltender Zentralkräfte kein resultierendes Drehmoment ausübt, womit dann die unterstrichene Summe wegfällt. Mit dieser oft nicht genannten Voraussetzung entsteht der Drallsatz in der Punktmechanik
worin das am System angreifende resultierende äußere Moment ist. Der Drallsatz erscheint so in der Punktmechanik als Folgerung aus dem Impulssatz, was allerdings das Resultat der Idealisierung der Massen als Massenpunkte ist, die nur Zentralkräfte aufnehmen können.
Georg Hamel nannte die Punktmechanik „eine intellektuelle Unsauberkeit“ und meinte „was man unter Punktmechanik versteht, ist nichts anderes als der Schwerpunktsatz.“ Die Punktmechanik ist zur Herleitung des Drallsatzes völlig unzureichend. Bei der Übertragung dieser Überlegungen auf ein Kontinuum kommt die Annahme von Zentralkräften einem Axiom gleich, dem Boltzmann-Axiom unten, was zur Symmetrie des Cauchy’schen Spannungstensors führt.
Isaac Newton behauptete in seinen Principia nirgends, dass die Wechselwirkungskräfte Zentralkräfte seien. Wenn die Massen nicht durch Massenpunkte idealisiert werden, dann hilft der Drallsatz weiter: Nach ihm können die inneren Kräfte den Drehimpuls nicht verändern und somit muss die unterstrichene Summe der inneren Momente verschwinden. Natürlich gilt der Drallsatz auch in der Punktmechanik, aber er ist keine Folgerung aus Newtons zweitem Gesetz.
Drallsatz am starren Körper
Beim starren Körper folgen die Massenpunkte der eulersche Geschwindigkeitsgleichung, was wichtige Konsequenzen hat und auf die Vektorgleichung
führt. Diese Gleichung wird gelegentlich Euler’sche (Kreisel)gleichung genannt. Als Bezugspunkt für das Moment und den Trägheitstensor Θ eignen sich ein beliebiger unbeschleunigter Fixpunkt oder der sich beliebig bewegende Massenmittelpunkt des Körpers. Der erste Term auf der rechten Seite berücksichtigt die Euler-Kräfte und der zweite die fiktiven Zentrifugalkräfte. Würde der Starrkörper mit konstant gehaltener Winkelgeschwindigkeit um die instantane Drehachse kreisen, dann würden die Zentrifugalkräfte ein resultierendes Moment haben, das gerade entspricht. Da bei der wirklichen Bewegung des starren Körpers die Drehachse jedoch ihre Lage beständig ändert, hat Louis Poinsot für diese Zentrifugalkräfte den Namen fiktive Zentrifugalkräfte vorgeschlagen.
Beweis Der Körper wird ähnlich wie oben als Vereinigung von Massenpunkten mit Ortsvektoren angesehen, die relativ zu einem Bezugspunkt angegeben seien. Die Beschleunigung der Massen ist bei einer Starrkörperbewegung dann gleich
Der Starrkörper dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit um den Bezugspunkt .
Nach Newtons zweitem Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ ist
Darin sind äußere Kräfte und die inneren heben sich nach dem Prinzip Actio und Reactio gegenseitig auf.
Dem Drallsatz zufolge sind die inneren Kräfte momentenfrei, siehe den vorausgehenden Abschnitt. Die Momente der an den einzelnen Massen angreifenden äußeren Kräfte Fi summieren sich dann zum resultierenden äußeren Moment
Der erste Term verschwindet, wenn der Bezugspunkt in einem Inertialsystem festgehalten wird () oder der Massenmittelpunkt des Körpers als Bezugspunkt gewählt wird (dann ist ), und davon wird hier ausgegangen.
Der zweite Term beinhaltet Euler-Kräfte deren Momente sich nach der BAC-CAB-Formel zur Kreiselwirkung
summieren. Der unterstrichene Term ist der Trägheitstensor Θ, der für den Starrkörper mit dem Einheitstensor 1 und dem dyadischen Produkt „⊗“ von Vektoren gebildet wird. Das dyadische Produkt ist mit drei beliebigen Vektoren definiert durch .
Der dritte und letzte Term in obiger Momentengleichung bildet sich aus den Zentrifugalkräften , aus denen sich die Kreiselwirkung
ergibt. Der Drehimpuls berechnet sich mit dem Trägheitstensor zu und so entsteht aus die Zeitableitung: