Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen. Seit der Antike wird der Tonvorrat einer Musikkultur zum einen über die Angabe von Tonhöhen und zum andern über den Begriff des Intervalls wiedergegeben.Quellen: Rudolf Wille: Mathematik und Musiktheorie. In: Musik und Zahl. Bonn/Bad Godesberg 1976, S. 233–264; Mathematische Sprache in der Musiktheorie. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1980, S. 167–184; Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra. Verlag Peter Lang, Frankfurt am Main, ISBN 3-8204-9492-8.
Heutzutage werden Tonhöhen und Intervalle über Frequenzen und Frequenzverhältnisse beschrieben. Bekannt ist die Musiktheorie des Pythagoras mit Hilfe von Proportionen (= Saitenverhältnisse am Monochord = Kehrwert der Frequenzverhältnisse).
Die mathematische Lehre von den Tönen und Intervallen ist jedoch auch ohne diese physikalischen Begriffe exakt möglich (siehe hörpsychologische Beschreibung). Die ersten bekannten hörpsychologischen Beschreibungen eines Tonsystems stammen von Aristoxenos.
Alle unten aufgeführten Tonsysteme sind auf das Intervall der Oktave bezogen.Cooper, Paul (1973). Perspectives in Music Theory: An Historical-Analytical Approach, S. 16. ISBN 0-396-06752-2. Zitat="common in most musical systems"
Der geordnete Tonraum Jeder Ton hat eine Frequenz.
Beispiel: c′ (das eingestrichene c) hat die Frequenz 264 Hz, e′ die Frequenz 330 Hz, g′ die Frequenz 396 Hz und c″ die Frequenz 528 Hz.Die Angaben beziehen sich auf die reine Stimmung, bei der Intervallen ganzzahlige Verhältnisse zugeordnet werden können.
Töne kann man in der Höhe unterscheiden. Dabei gilt: Je höher ein Ton erklingt, umso größer ist seine Frequenz. Mathematisch gesehen handelt es sich um eine (transitive und trichotomische) strenge Totalordnung. Transitiv heißt: Aus a höher als b und b höher als c folgt a höher als c. Trichotomisch heißt: Für Töne a und b gilt: Entweder a = b oder a höher als b oder b höher als a.
Der geordnete additive Intervallraum Je zwei Tönen x und y (mit den Frequenzen f1 und f2) ist eindeutig ein Intervall xy zugeordnet (mit dem Frequenzverhältnis ).
Beispiel: Die Oktave c′c″ hat das Frequenzverhältnis 528:264 = 2, die reine Quinte c′g′ das Frequenzverhältnis 396:264 = 3:2, die große Terz c′e′ das Frequenzverhältnis 330:264 = 5:4 und die kleine Terz e′g′ das Frequenzverhältnis 396:330 = 6:5.Euklid rechnete mit Proportionen, nämlich mit Saitenverhältnissen, die dem Kehrwert der Frequenzverhältnisse entsprechen.
Zu jedem Anfangston x (mit der Frequenz f1) und zu jedem Intervall i (mit dem Frequenzverhältnis q) ist eindeutig ein Endton y (mit der Frequenz f2 = f1 q) des Intervalls i = xy zugeordnet.
Beispiel: Hat a′ die Frequenz f1 = 440 Hz, so hat der Ton c″, der um eine kleine Terz mit dem Frequenzverhältnis q = 6:5 höher erklingt, die Frequenz f2 = 440 Hz · 6/5 = 528 Hz.
In der Sprache der Musiker werden Intervalle bei der Hintereinanderausführung addiert. Der Intervallraum besitzt in diesem Sinne eine additive Struktur. Beispiel: große Terz + kleine Terz = Quinte. 12 Quinten sind ungefähr gleich 7 Oktaven. Der Unterschied wird als pythagoreisches Komma bezeichnet. Man schreibt dazu: pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven. Führt man drei reine große Terzen hintereinander aus (zum Beispiel c-e-gis-his), so erhält man (von c nach his) ein Intervall, das etwas kleiner als die Oktave ist. Der Unterschied heißt kleine Diësis. Somit: kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen.
Der Addition von Intervallen entspricht die Multiplikation der Frequenzverhältnisse und der Subtraktion von Intervallen die Division der Frequenzverhältnisse.
Beispiel: Der Addition kleine Terz + große Terz = Quinte entspricht die Multiplikation 6/5 · 5/4 = 3/2. Das Frequenzverhältnis des pythagoreischen Kommas errechnet sich zu (3/2)12 : 27 = 531.441 : 524.288 ≈ 1,013.643 und das der kleinen Diësis zu 2 : (5/4)3 = 128 : 125 = 1,024.
Intervalle kann man in der Größe vergleichen. Dabei gilt: Je größer das Intervall, umso größer ist sein Frequenzverhältnis.
Das Frequenzverhältnis wächst exponentiell an.
Beispiel: IntervallFrequenzverhältnisIntervallFrequenzverhältnis 1 Oktave 2 1 Quinte 3/2 2 Oktaven 4 2 Quinten 9/4 3 Oktaven 8 3 Quinten 27/8 4 Oktaven 16 4 Quinten 81/16 5 Oktaven 32 5 Quinten 243/32 ••• ••• Mathematisch gesehen ist ein Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe.
Intervalle und Frequenzverhältnisse Streng mathematisch kann man formulieren:
Es gibt eine Funktion von der additiven Gruppe der Intervalle in die multiplikative Gruppe der Frequenzverhältnisse .
Die Abbildung ist ein Homomorphismus, d. h. werden zwei Intervalle addiert, so werden ihre Frequenzverhältnisse multipliziert.
Beispiel: Aus große Terz + kleine Terz = Quinte folgt: (große Terz) · (kleine Terz) = (Quinte), nämlich 5/4 · 6/5 = 3/2. Solche Funktionen wachsen exponentiell. Zum Beispiel: Aus (Quinte) = 3/2 folgt (12 Quinten) = .
Die Umkehrfunktion von ist der Logarithmus zur Basis 2. Damit lässt sich die Größe eines Intervalls als Vielfaches der Einheit Oktave oder der Untereinheit Cent „messen“ (dabei gilt 1200 Cent = 1 Oktave). Beispiel: Da (Quinte) = 3/2, folgt Quinte = log2 (3/2) Oktave ≈ 702 Cent.Herleitung: Aus Quinte = k · Oktave folgt 3/2 = (Quinte) = (k · Oktave) = (Oktave)k = 2k, und aus 2k = 3/2 folgt k = log2 (3/2).
Messung der Größe von Intervallen Intervalle kann man als Vielfache von einer Oktave angeben. Oft wird jedoch die Untereinheit Cent verwendet.
Es handelt sich dabei um ein logarithmisches Maß der Frequenzverhältnisse. Die Untereinheit Cent mit der Definition 1200 Cent = 1 Oktave oder 1 gleichstufiger Halbton = 100 Cent ermöglicht eine anschauliche Vorstellung von der Größe verschiedener Intervalle, die auch der musikpraktischen Empfindung entspricht.
+ Beispiel Intervall Frequenzverhältnis Größe 1 Oktave 2 1200 Cent 2 Oktaven 4 2400 Cent 3 Oktaven 8 3600 Cent … k Oktaven 2k 1200 · k Cent log2 (q) Oktaven q 1200 · log2 (q) Cent gleichstufiger Halbton = Oktave 100 Cent reine kleine Terz 6:5 reine große Terz 5:4 reine Quinte 3:2 Pythagoreisches Komma 531441:524288 kleine Diësis 128:125
( = Logarithmus zu beliebiger Basis b>0, = Logarithmus zur Basis 2).
Durch die Verwendung des Logarithmus bei der Centberechnung wird aus der multiplikativen Struktur der Frequenzverhältnisse wieder die additive Struktur der Intervalle.
Beispiel: Quinte = kleine Terz + große Terz ≈ 315,641 Cent + 386,314 Cent = 701,955 Cent. pythagoreisches Komma = 12 Quinten − 7 Oktaven ≈ 12 · 701,955 Cent − 7 · 1200 Cent = 23,460 Cent. kleine Diësis = Oktave − 3 große Terzen ≈ 1200 Cent − 3 · 386,3137 Cent ≈ 41,059 Cent.
Berechnung der Intervallgröße und des Frequenzverhältnisses Ist das Frequenzverhältnis des Intervalls, so berechnet sich die Größe des Intervalls zu:
Beispiel: Die reine Quinte hat das Frequenzverhältnis von . Dann berechnet sich ihre Größe zu
Ist andererseits das Intervall, so berechnet sich das Frequenzverhältnis zu:
Beispiel 1: Das Intervall von der Größe hat das Frequenzverhältnis von:
Beispiel 2: Die reine Quinte hat ungefähr die Größe 702 Cent, genau . Das Frequenzverhältnis berechnet sich dann zu:
Beispiele für Intervallräume Ein Intervallraum besteht aus der Menge aller Intervalle der zu betrachtenden Tonstruktur verbunden mit der Verknüpfung der Addition der zugehörigen Intervalle. Die Intervallgrößen einzelner Stimmungen unterscheiden sich.
In den folgenden Tabellen bedeutet:
Ok = Oktave (Frequenzverhältnis ), H = Halbton (Frequenzverhältnis ), Q = Quinte (Frequenzverhältnis ), Qm = ¼-Komma mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis ), T = Terz (Frequenzverhältnis ).
Name des IntervallraumsIntervallraumDas Quintensystem Intervallraum der pythagoreischen Stimmung Das ¼-Komma mitteltönige Quintensystem Intervallraum der mitteltönigen Stimmung Das Quint-Terz-System Intervallraum der reinen Stimmung Der zwölfstufige Intervallraum = Intervallraum der gleichstufigen Stimmung Der 53-stufige Intervallraum Der allumfassende Intervallraum (Alle Intervalle sind beliebig teilbar.)
Teilbarkeit von Intervallen Im Allgemeinen kann man Intervalle vom Gehör her nicht „teilen“. Die „halbe Quinte“ (350 Cent) wäre zwischen kleiner und großer Terz anzusiedeln und ist im Stimmungssystem weder der pythagoreischen noch der mitteltönigen, reinen oder gleichstufigen Stimmung ein vorkommendes Intervall. Auch die halbe Oktave (600 Cent) existiert nicht im Stimmungssystem der pythagoreischen, der mitteltönigen oder reinen Stimmung.Schon der Pythagoreer Archytas von Tarent (ca. 400 v. Chr.) bewies, dass die Oktave, die Quinte und Quarte usw. nicht halbierbar sind, wenn man kommensurable Größen zugrunde legt.
Pythagoreische Stimmung
Die Grundlage der pythagoreischen Stimmung ist das Quintsystem mit den folgenden Intervallen:
Intervall Darstellung Frequenzverhältnis Größe in Cent Oktave Ok (Grundintervall) 2:1 =1200 Quinte Q (Grundintervall) 3:2 ≈702 Ganzton 2 Q − Ok 9:8 ≈204 pythagoreische große Terz (Ditonos) 2 Ganztöne = 4 Q − 2 Ok 81:64 ≈408 Quarte Ok − Q 4:3 ≈498 pythagoreischer Halbton (Limma) Quart-Ditonos = 3 Ok − 5 Q 256:243 ≈90 pythagoreischer chromatischer Halbton (Apotome) Ganzton-Limma = 7Q − 4Ok 2187:2048 ≈114 pythagoreisches Komma 12 Q − 7 Ok 531441:524288 ≈23 ausführliche Tabelle
Mitteltönige Stimmung
Die Grundlage der ¼-Komma-mitteltönigen Stimmung ist das ¼-Komma-mitteltönige Quintsystem mit den folgenden Intervallen: Intervall DarstellungFrequenzverhältnis Größe in CentOktave Ok Ok (Grundintervall)2:1=1200Quinte Qm Qm (Grundintervall) ≈697Große Terz4 Qm − 2 OK = T 5:4≈386QuarteOk − Qm ≈503Kleine Sext3 Ok − 4 Qm = Ok − T8:5≈814Kleine Terz2 Ok − 3 Qm ≈310Große Sext3 Qm − Ok ≈890Ganzton2 Qm − Ok ≈193Kleine Septime2 Ok − 2 Qm ≈1007Halbton3 Ok − 5 Qm ≈117Große Septime 5 Qm − 2 Ok ≈1083 ausführliche Tabelle
Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes In der reinen Stimmung genügt nicht nur die Angabe der Tonbezeichnung nach dem Notenbild. Es muss noch eine Bezeichnung hinzukommen, bei der erkennbar ist, ob die vorkommenden Quinten und Terzen rein erklingen. Dazu sind die Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes hilfreich:
Reine Quinten im Quintenzirkel: … es b f c g d a e …
Ein syntonisches Komma tiefer …,es,b ,c,g ,d,a ,e … (Tiefkomma vor der Tonbezeichnung)
Ein syntonisches Komma höher … ’es ’b ’c ’g ’d ’a ’e … (Hochkomma vor der Tonbezeichnung)
Beispiel: reine große Terz: c ,e und reine Quinte c g.
Beispiel: reine C-Dur-Tonleiter: c d ,e f g ,a ,h c.
Beispiel: reine,a-Moll-Tonleiter: ,a ,h c ,d ,e f g ,a.
Jede Dur-Tonart ist von der Form: 1 2 ,3 4 5 ,6 ,7 8 oder ’1 ’2 3 ’4 ’5 6 7 ’8 usw.
Jede Molltonart ist von der Form: 1 2 ’3 4 5 ’6 ’7 8 oder ,1 ,2 3 ,4 ,5 6 7 ,8 usw., wobei »1« für den ersten Ton »2« für den zweiten Ton usw. der Tonleiter steht.
Reine Stimmung Die Grundlage der reinen Stimmung ist das Quint-Terz-System , das aus den Intervallen der Form
mit den Frequenzverhältnissen besteht.
Die Hauptintervalle sind: