mini|upright=1.7|, die ersten 100.000 Glieder der Folge: Die Funktion deutet eine Konvergenz gegen 1,08366 an ... mini|upright=1.7|, die ersten 10 Millionen Glieder der Folge: ... die sich bei weiterer Betrachtung nicht so richtig bestätigen will.
+ Verlauf von bis 1029 101 −0,19741 1016 1,02966 102 0,60517 1017 1,02776 103 0,95537 1018 1,02609 104 1,07364 1019 1,02460 105 1,08757 1020 1,02328 106 1,07633 1021 1,02209 107 1,07098 1022 1,02102 108 1,06395 1023 1,02005 109 1,05663 1024 1,01916 1010 1,05037 1025 1,01835 1011 1,04513 1026 1,01761 1012 1,04087 1027 1,01692 1013 1,03735 1028 1,01629 1014 1,03438 1029 1,01570 1015 1,03184
Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798 von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.
Geschichte
Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:
dabei ist der natürliche Logarithmus von , die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als sind, und die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst und später bis , auf etwa schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.
1849 bewies aber Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, dass dieser Grenzwert , sofern er existiertEdmund Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Third (corrected) edition, two volumes in one, Chelsea 1974, S. 17., den Wert 1 haben muss. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.János Pintz: On Legendre’s prime number formula. In: American Mathematical Monthly, Jg. 87 (1980), S. 733–735.
Auch eine Berechnung der Funktion für größere zeigt, dass sie für größere wieder fällt, sich zunehmend von entfernt und eher durch approximiert werden kann, was letztendlich gegen 1 konvergiert (siehe Tabelle rechts).
Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899
(für eine positive Konstante , wobei das Landau-Symbol ist), dass tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques HadamardSur la distribution des zéros de la fonction et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 und Charles de La Vallée Poussin« Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, S. 183–256 und 281–361 (ohne Restabschätzung) bewiesen.
Literatur und Quellen Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)
Weblink
Kategorie:Primzahl Kategorie:Analytische Zahlentheorie