mini|hochkant=1.5|Isoperimetrischer Punkt Q, Inkreismittelpunkt I, Gergonne-Punkt G, Punkt gleichen Umwegs Pgleiche Umwege:Harmonische Verwandtschaft: Der Punkt des gleichen Umwegs ist ein besonderer Punkt in einem Dreieck . Dieser Punkt ist dadurch gekennzeichnet, dass der Umweg von über nach ebenso groß ist wie der Umweg von über nach und der Umweg von über nach . Hierbei versteht man unter der Länge des Umwegs die Länge der Strecke, die man zusätzlich zur kürzesten Verbindung zurücklegt und es gilt dementsprechend:Isoperimetric point and equal detour point in der Encyclopedia of Triangle Centers (abgerufen am 7. Februar) .
Eindeutigkeit Der Punkt des gleichen Umwegs hat die Kimberling-Nummer X(176). Er ist der einzige Punkt mit der obigen Eigenschaft, wenn für die Winkel des Dreiecks die folgende Ungleichung erfüllt ist:M. Hajja, P. Yff: The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle. In: Journal of Geometry, November 2007, Band 87, Heft 1–2, S. 76–82, . Ist die Ungleichung nicht erfüllt, so besitzt auch der isoperimetrische Punkt die Eigenschaft des gleichen Umwegs.
Eigenschaften Der Punkt des gleichen Umwegs ist harmonisch verwandt mit dem isoperimetrischen Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Gergonne-Punkt und kollinear zu diesen drei Punkten.N. Dergiades: The Soddy circles. In: Forum Geometricorum, Band 7, S. 191–197, 2007 Die Umwege sind gleich dem Durchmesser des inneren Soddy-Kreises. Die baryzentrischen Koordinaten sind: . Hierbei steht für den Flächeninhalt und für den halben Umfang des Dreiecks . Die trilinearen Koordinaten sind: .
Weblinks
isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf Geogebratube
Einzelnachweise
Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck