+ Die ersten Werte von σ0 ... σ4 n = σ0(n) σ1(n) σ2(n) σ3(n) σ4(n) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 5 9 17 3 3 2 4 10 28 82 4 22 3 7 21 73 273 5 5 2 6 26 126 626 6 2‧3 4 12 50 252 1394 7 7 2 8 50 344 2402 8 23 4 15 85 585 4369 9 32 3 13 91 757 6643 10 2‧5 4 18 130 1134 10642 11 11 2 12 122 1332 14642 12 22‧3 6 28 210 2044 22386 13 13 2 14 170 2198 28562 14 2‧7 4 24 250 3096 40834 15 3‧5 4 24 260 3528 51332 16 24 5 31 341 4681 69905 17 17 2 18 290 4914 83522 18 2‧32 6 39 455 6813 112931 19 19 2 20 362 6860 130322 20 22‧5 6 42 546 9198 170898 21 3‧7 4 32 500 9632 196964 22 2‧11 4 36 610 11988 248914 23 23 2 24 530 12168 279842 24 23‧3 8 60 850 16380 358258 25 52 3 31 651 15751 391251 26 2‧13 4 42 850 19782 485554 27 33 4 40 820 20440 538084 28 22‧7 6 56 1050 25112 655746 29 29 2 30 842 24390 707282 30 2‧3‧5 8 72 1300 31752 872644 In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet. Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet.
Definition Für eine natürliche Zahl ist definiert: . Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von , einschließlich und . Beispielsweise ist demnach
Spezialisierungen ist die Teileranzahlfunktion, ist die Teilersumme.
Eigenschaften 350px|mini|Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ1 350px|mini|Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ2 350px|mini|Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ3 ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde gilt: . Hat die Primfaktorzerlegung , so ist , für , und für gilt: . Die durchschnittliche Größenordnung von für ist , mit der Riemannschen Zetafunktion . Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion ist . Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten .
Reihenformeln Speziell für gilt:
Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als schreibt: Wenn man nun durch substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die teilen.
Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291) für was speziell für d(n) = σ0(n) ergibt: für und (S. 292, Satz 305)
Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:
für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.
Die Teilerfunktion lässt sich für mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:
Die Berechnung der ersten Werte von zeigt das Schwanken um den „Mittelwert“ :
Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht , gerade, sind die Teilerfunktionen . Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle :
Siehe auch Hochzusammengesetzte Zahl
Quellen
Kategorie:Zahlentheoretische Funktion