Eine Hurwitzquaternion (oder Hurwitz-Ganzzahl), benannt nach Adolf Hurwitz, ist eine Quaternion, deren vier Koeffizienten entweder alle (rational-)ganzzahlig oder alle halbzahlig (Hälften ungerader ganzer Zahlen) sind – Mischungen von Ganzzahlen und Halbzahlen sind also unzulässig. Die Menge aller Hurwitzquaternionen ist
.
Sie bildet in ihrem Quotientenkörper, dem Divisionsring (Schiefkörper) der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten
,
eine maximale -Ordnung. ist der kleinste Unterkörper des Quaternionenschiefkörpers mit nicht-kommutativer Multiplikation. Andererseits ist seine Vervollständigung (Komplettierung) für die Betrags-Metrik gerade wieder .
Eine Lipschitzquaternion (oder Lipschitz-Ganzzahl), benannt nach Rudolf Lipschitz, ist eine Quaternion, deren Koeffizienten alle ganzzahlig sind. Die Menge aller Lipschitzquaternionen
ist ein (nicht-kommutativer) Unterring von (aber kein Ideal!). und haben denselben Quotientenkörper .
Im Unterschied zu ist maximal als Ganzheitsring und zusätzlich ein euklidischer Ring, d. h., kennt eine Division mit kleinem Rest und einen euklidischen Algorithmus.
Der Artikel behandelt die wichtigsten algebraischen Eigenschaften inklusive Symmetrien von und deren geometrische Auswirkungen. Ferner lässt sich exemplarisch verfolgen, inwieweit Begriffe, die man von den kommutativen Ringen her kennt und die häufig nur dort definiert werden, fürs nicht-kommutative Umfeld angepasst werden können.
Erbschaften Der Schiefkörper „erbt“ die , , und alle einschlägigen Rechenregeln von , den Quaternionen mit reellen Koeffizienten. Bezüglich der Definitionen wird auf den entsprechenden Artikel verwiesen.
ist ein 4-dimensionaler Vektorraum über seinem Skalarkörper , wie es über ist. Vom Vektorraum gewinnt man die Addition und die Skalarmultiplikation , bei der der Skalar die Quaternion komponentenweise multipliziert. Diese Multiplikation stimmt in ihrem Definitionsbereich mit der Quaternionen-Multiplikation überein, da als in die Quaternionen eingebettet wird, und sie ist kommutativ.
In diesem Artikel wird die (volle) Quaternionen-Multiplikation mit dem Mittepunkt und die Skalarmultiplikation durch einfache Juxtaposition notiert, ferner werden die Quaternionen mit griechischen und die Skalare mit lateinischen Buchstaben geschrieben.
Zur Erläuterung der Auswirkungen der Erbschaften auf das Thema des Artikels seien und beliebige Quaternionen (mit rationalen oder ggf. reellen Koeffizienten).
Das Skalarprodukt , definiert durch , ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Wir haben die Bilder
und
und die Bilder .
Die Konjugation wirft nach .
Die Norm, gegeben durch
ist (Quadrat des Betrags), multiplikativ, rein reell, nicht-negativ und bei einer Hurwitzquaternion immer eine ganze Zahl. Gemäß dem Vier-Quadrate-Satz von Lagrange benötigt man für jede nicht-negative ganze Zahl höchstens 4 Quadratzahlen, deren Summe sie ist. Somit ist jede nicht-negative Ganzzahl Norm einer Lipschitz- (oder Hurwitz-)Quaternion.
Die positive Definitheit des Skalarprodukts bedeutet für . Daraus folgt die Existenz des Inversen für , daraus die Nullteilerfreiheit von .
Gruppeneigenschaften Folgende Notationen seien in diesem Artikel durchgehalten.
Die Menge
ist wegen der Multiplikativität der Norm additiv und multiplikativ abgeschlossen und Untermenge von , da alle mit eine ungerade Norm haben. Ferner ist für und sowohl als auch . ist bekannt als das Gitter D4Conway 5.5 Factoring the Lipschitz Integers, S. 62. im . Es wird der geraden „Quersummen“ wegen auch „Schachbrettgitter“ genannt. sei eine Kurzschreibweise für die Nebenklasse . Die Quaternion
hat zur 6-ten Potenz, und es ist und . Die Menge
ist multiplikativ abgeschlossen.
Additivität Lipschitz-Gitter Die additive Gruppe wird erzeugt von und bildet ein Gitter im , bekannt als das Gitter I4.Conway 5.5 Factoring the Lipschitz Integers, S. 62.
ist ein Untergitter vom Index 2 von . Es ergeben sich die Partitionen .
+ Additionstafel
Hurwitz-Gitter Als additive Gruppe ist frei abelsch mit den Erzeugenden . bildet ebenfalls ein Gitter im , bekannt als das Gitter F4Bei Conway 5.5 Factoring the Lipschitz Integers, S. 62, wegen seiner Dualität zu D4 bezeichnet als D4*.
ist ein Untergitter vom Index 2 von und es ergeben sich die Partitionen
(siehe unten stehendes Diagramm). Damit ist ein vollständiges Repräsentantensystem von .
Die Elemente der Nebenklassen haben gerade, die von ungerade „Quersumme“ .
+ Aus den Nebenklassen des Gitters D4 gebildete Gitter und Ringe
Multiplikativität Lipschitz-Halbgruppe Es ist klar, dass das Produkt zweier Lipschitz-Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten wieder ganzzahlige Koeffizienten hat. Somit ist die Menge eine Halbgruppe unter der Quaternionen-Multiplikation .
Lipschitz-Einheiten Die Einheitengruppe in ist die nicht-abelsche Quaternionengruppe
von der Ordnung 8 mit dem Zentrum . Erzeugende von Q8 sind z. B. und mit den Gleichungen , und .
+ Multiplikationstafel
Hurwitz-Halbgruppe Der Beweis der multiplikativen Abgeschlossenheit von gelingt ohne große Rechnerei durch Zusammensetzen aus den 4 Nebenklassen.Denn ist , dann ist entweder oder ; ist jedoch , dann ist und entweder oder , welch letzteres .
Somit gibt es zu beliebigen Repräsentanten und Elemente derart, dass und . Dann ist . Wegen der multiplikativen Abgeschlossenheit von ist auch . Somit ist eine der 4 Partitionen von , und es folgt das gesuchte Resultat: .
Fazit: Die Mengen und sind abgeschlossen unter der Addition und der Multiplikation , so dass sie (nicht-kommutative) Unterringe in ihrer beider Quotientenkörper bilden, und ist ein Ideal in beiden Ringen (siehe auch den Abschnitt Ideale).
Hurwitz-Einheiten
+Multiplikationstabelle von 12 Hurwitz-Einheiten (ohne ) Die Einheitengruppe in , auch Gruppe der Hurwitzeinheiten genannt, ist die nicht-abelsche Gruppe
der Ordnung 24, die aus den 8 Elementen der Gruppe Q8 und den 16 Quaternionen besteht, bei denen die Vorzeichen in jeder Kombination zu nehmen sind: den Hurwitzeinheiten im engeren Sinn. ist isomorph zur binären Tetraedergruppe 2T, einer zentralen Gruppenerweiterung der Tetraedergruppe T = A4 von der Ordnung 12 mit einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2. Ihr Zentrum ist ebenfalls und die Faktorgruppe ist isomorph zu A4.
Q8 ist Normalteiler vom Index 3 von , und ist Untergruppe von mit und ; also ist das semidirekte Produkt .Als das aus Semidirektes Produkt#Definition ist die Konjugation zu nehmen. Neben den genannten Normalteilern Q8 und hat nur zyklische Untergruppen der Ordnungen 3, 4 und 6. Die 8 Hurwitzeinheiten haben die Ordnung 6 und die 8 mit negativer Skalarkomponente die Ordnung 3. Somit enthält (und damit auch und ) neben 6 primitiven 4-ten auch 8 primitive 6-te aber keine primitiven 12-ten Einheitswurzeln.
Erzeugende von sind z. B. und mit den Gleichungen , wobei .
Geometrische Eigenschaften Reguläres 16-Zell mini|120px|3D-Projektion des regulären 16-Zells Die Elemente der Gruppe Q8 haben alle die Norm 1 und bilden die Ecken des Kreuzpolytops der vierten Dimension, des regulären 16-Zells. Er ist eingeschrieben in die Einheits-3-Sphäre, die selbst wieder eine Gruppe ist, nämlich die Lie-Gruppe SU(2). Sein Rand besteht aus 16 Tetraedern mit den Eckenmengen , wobei jede der 16 Vorzeichenkombinationen für ein Tetraeder steht. Die Mittelpunkte dieser Tetraeder sind gerade die Hälften der Hurwitzeinheiten im engeren Sinn.
Das 16-Zell ist zum 8-Zell dual, gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen (Polychora im ), hat Schläfli-Symbol {3,3,4} und ist berandet von 16 (regulären) Tetraeder-Zellen, 32 (regulären) Dreiecksflächen, 24 Kanten und 8 Ecken. Sein 4-Volumen ist bei einer Kantenlänge von und einem Umkreisradius von 1.
Reguläres 8-Zell mini|120px|3D-Projektion des regulären 8-Zells Die restlichen 16 Elemente , d. s. die Hurwitzeinheiten im engeren Sinn, haben ebenfalls die Norm 1 und bilden die Ecken des Hyperwürfels (Maßpolytops) der vierten Dimension, des regulären 8-Zells, auch Tesserakt genannt. Es ist berandet durch 8 Würfel, einer davon hat bspw. die 8 Ecken und als Mittelpunkt. Die Mittelpunkte der Würfel sind .
Das 8-Zell ist zum 16-Zell dual, gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen, hat Schläfli-Symbol {4,3,3} und ist berandet von 8 Zellen (den Würfeln), 24 Quadraten, 32 Kanten und 16 Ecken. Sein 4-Volumen ist 1 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.
Reguläres 24-Zell mini|120px|3D-Projektion des regulären 24-Zells links|mini|240px|Schlegeldiagramm des regulären 24-Zells (Ecken und Kanten) Die Elemente der Gruppe haben alle die Norm 1 und bilden die Ecken des 24-Zells.
Die 6 Quaternionen markieren die Ecken eines regulären Oktaeders mit dem Mittelpunkt auf dem Rand dieses 24-Zells, welches bei (linker wie rechter) Multiplikation mit einem Element in ein anderes Oktaeder (auf dem Rand) übergeht. Somit besteht der Rand des 24-Zells aus 24 (regulären) Oktaeder-Zellen, von denen sich 6 an jeder Ecke und 3 an jeder Kante treffen. Das 24-Zell gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen, hat 24 Zellen (die Oktaeder), 96 Dreiecksflächen, 96 Kanten und 24 Ecken. Das 4-Volumen ist 2 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.
Das 24-Zell hat Schläfli-Symbol {3,4,3}, ist das einzige selbstduale reguläre euklidische Polytop, das nicht Simplex oder Polygon ist, und hat insoweit keine Entsprechung in anderen Dimensionen.Im gibt es 5 reguläre Körper, die sog. Platonischen Körper. Sie haben alle eine Entsprechung im : Obiger 16-Zell ist bspw. als Kreuz-4-Polytop das Analogon des Kreuzpolytops Oktaeder und das 8-Zell als Maß-4-Polytop das des Maßpolytops Würfel. Und nach Coxeter, Table I: Regular polytopes, (iii) The three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5) Seite 294f gibt es in den Dimensionen > 4 als reguläre Polytope nur Simplex, Kreuzpolytop und Maßpolytop. Das 24-Zell ist zusammengesetzt aus einem 16-Zell und einem 8-Zell. In jeder Dimension lässt sich Kreuzpolytop und Maßpolytop zusammensetzen, d. h. die Menge der Ecken beider Polytope auf der Einheitssphäre platzieren. Nur in der zweiten, wo es banal ist, und eben in der vierten Dimension lässt sich ein reguläres Ergebnis arrangieren.
Parkettierung und Sphärenpackung Zu jedem der 3 oben genannten regulären 4-Polytope gibt es eine reguläre und lückenlose Parkettierung – und diese sind die einzigen – des 4-dimensionalen euklidischen Raums.
Parkettierung mit dem 8-Zell Eine Parkettierung des mit dem Tesserakt lässt sich so einrichten, dass die Mittelpunkte der Tesserakte, der Maschen, genau auf die Lipschitzquaternionen fallen. Das gelingt mit dem oben erwähnten Tesserakt, genauer: dem 4-dimensionalen und für die Disjunktheit der Maschen rechtsoffenen Intervall als der Grundmasche.
Diese Parkettierung mit dem 8-Zell sei als die Lipschitz-Parkettierung bezeichnet. Sie hat Schläfli-Symbol {4,3,3,4} und ist zu sich selbst dual, d. h., die Mittelpunkte der einen Parkettierung sind die Ecken der dualen und umgekehrt. Das 4-Volumen der Maschen ist 1 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.Zu jeder Dimension gibt es eine Parkettierung des euklidischen Raums mit dem Maßpolytop. Bei Dimensionen > 4 gibt es keine andere reguläre.
Parkettierung mit dem 24-Zell