mini|Simulierte Pfade einer gebrochenen Brownschen Bewegung mit H=0.15 (links) und H=0.95 (rechts). Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen , welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:
wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.
Eigenschaften Selbstähnlichkeit
ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse und für jedes feste c > 0 dieselbe Verteilung besitzen.
Stationäre Inkremente Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung
Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt: falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente; falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert; falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.
Pfadeigenschaften Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index für jedes .
Stochastische Integration Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.
Siehe auch Anomale Diffusion
Weblinks Vorlesungsvideo über die gebrochene Brownsche Bewegung (englisch)
Quellen
Kategorie:Stochastischer Prozess