mini|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen positiven reellen Formparameter besitzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.
Verteilungs- und Dichtefunktion Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter die Verteilungsfunktion
Die dazugehörige Dichtefunktion ist
Momente und Median Im Folgenden sei eine -Fréchet-verteilten Zufallsvariable und die Gamma-Funktion.
Median Der Median ist
Existenz von Momenten Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn .
Erwartungswert Der Erwartungswert ist . Varianz Die Varianz ist
Schiefe Die Schiefe ist
Kurtosis Die Kurtosis ist
Zusammenhang mit anderen Verteilungen Ist Fréchet-verteilt mit Parameter , so ist Gumbel-verteilt mit Parametern und .
Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.
Anwendung Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.
Literatur J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0. J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.
Einzelnachweise mathematik.uni-kl.de – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung