Das Lemma von Céa oder das Céa-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Es ist grundlegend für die Fehlerschätzung von Finite-Elemente-Näherungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Das Lemma trägt den Namen zu Ehren des französischen Mathematikers Jean Céa, der es in seiner Dissertation 1964 bewies.
Formulierung Voraussetzungen Sei ein reeller Hilbertraum mit der Norm . Sei eine Bilinearform, die
beschränkt (äquivalent dazu stetig), d. h. für eine Konstante und alle
und koerzitiv (häufig auch stark positiv, V-elliptisch), d. h. für eine Konstante und alle
ist. Sei weiter ein beschränkter linearer Operator.
Problemstellung Betrachte das Problem, ein mit
für alle
zu finden. Betrachte nun das gleiche Problem in einem Unterraum , d. h. es ist ein zu finden mit
für alle .
Nach dem Lemma von Lax-Milgram gibt es für beide Probleme eine eindeutige Lösung.
Aussage des Lemmas Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann besagt das Lemma von Céa:
.
Dies bedeutet, dass die Approximation der Lösung aus dem Unterraum höchstens um die Konstante schlechter ist als die beste Approximation für im Raum , sie ist quasi-optimal.
Bemerkungen Mit einer symmetrischen Bilinearform verkleinert sich die Konstante auf , der Beweis ist weiter unten angegeben.
Das Lemma von Céa gilt auch für komplexe Hilberträume, indem eine Sesquilinearform statt der Bilinearform verwendet wird. Die Koerzivität wird dann zu für alle , man beachte die Betragszeichen um .
Die Approximationsgüte des Ansatzraums bestimmt den Approximationsfehler stark.
Sonderfall: Symmetrische Bilinearform Die Energienorm In vielen Anwendungen ist die Bilinearform symmetrisch, also für alle in . Mit den Voraussetzungen des Céa-Lemmas ergibt sich, dass ein Skalarprodukt von ist. Die implizierte Norm wird Energienorm genannt, weil sie in vielen physikalischen Problemen eine Energie darstellt. Diese Norm ist äquivalent zur Norm des Vektorraums .
Das Lemma von Céa in der Energienorm right|mini|Die Unterraum-Lösung ist eine Projektion von auf den Unterraum bezüglich des Skalarprodukts .
Aus der Galerkin-Orthogonalität von mit und der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich für alle in .
Somit lautet das Lemma von Céa in der Energienorm: für alle in . Man beachte, dass die Konstante auf der rechten Seite verschwunden ist.
Das bedeutet, dass die Unterraum-Lösung die beste Approximation der Lösung bezüglich der Energienorm ist. Geometrisch lässt sich als Projektion bezüglich von auf den Unterraum interpretieren.
Folgerungen Damit lässt sich die schärfere Schranke für symmetrische Bilinearformen für die gewöhnliche Norm des Vektorraums zeigen. Aus für alle in folgt für alle in .
Beweis Der Beweis ist nicht lang und führt die Notwendigkeit der Voraussetzungen vor Augen.
Galerkin-Orthogonalität Die in der Problemstellung gegebenen Gleichung für alle und für alle werden voneinander abgezogen, was wegen möglich ist. Die resultierende Gleichung lautet für alle und wird Galerkin-Orthogonalität genannt.
Abschätzung Die Bilinearform ist koerziv
Addition von 0, sei
Mit Bilinearität von
Der zweite Term ist 0 wegen der Galerkin-Orthogonalität, da
Die Bilinearform ist stetig
Die Gleichung kann durch geteilt werden. Da beliebig aus gewählt ist, kann auch das Infimum gewählt werden, wodurch wir die Aussage erhalten.
Literatur
Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, Annales de l'institut Fourier, Band 14, Nr. 2, 1964, S. 345–444, PDF, 5 MB (Original-Arbeit von J. Céa)
Einzelnachweise E. Emmrich: Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen - Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 978-3-528-03213-5, Seite 112
Kategorie:Numerische Mathematik Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Satz (Mathematik)