Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde 1949 von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.J. H. C. Whitehead: Combinatorial homotopy, Bull. Amer. Math. Soc., Band 55, 1949, 213–245 (Teil 1), S. 453–496 (Teil 2)

Definition Eine -Zelle ist ein topologischer Raum, der zu homöomorph ist. Eine offene -Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von homöomorph ist. nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum , der in offene Zellen zerfällt, wobei gilt: zu jeder -Zelle existiert eine stetige Abbildung so dass das Innere von homöomorph auf und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension abgebildet wird. ( heißt die charakteristische Abbildung der Zelle .) ist genau dann abgeschlossen, wenn für alle abgeschlossen ist.

Das -Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimensionen .

Ein endlicher CW-Komplex ist ein CW-Komplex aus endlich vielen Zellen.

Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

In zusammenhängenden CW-Komplexen gilt der Satz von Whitehead über die Homotopieäquivalenz.

Ein CW-Komplex ist der Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe.

Beispiele Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex. Jede offene sternförmige Teilmenge des ist eine k-Zelle. ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen und die charakteristischen Abbildungen .

Zelluläre Abbildungen

Das -Gerüst eines CW-Komplexes ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension .

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung , die jede -Zelle von in das -Gerüst von abbildet. (Dabei müssen -Zellen nicht notwendig auf -Zellen abgebildet werden.)

Siehe auch Abstrakter Zellkomplex

Literatur

Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2010, ISBN 978-0-521-79540-1, S. 5ff., S. 102ff., S. 106ff

Einzelnachweise

Kategorie:Algebraische Topologie Kategorie:Homologische Algebra