Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, dessen Zahlzeichen aus Ziffern besteht, deren jeweiliger Beitrag zum Gesamtwert der Zahl von ihrer Position innerhalb des Zahlzeichens abhängt. Beispielsweise trägt im weitverbreiteten Zehnersystem bei einer Zahl mit dem Zahlzeichen „127“ die Ziffer „1“ den Wert zum Zahlenwert bei, dazu addiert sich für die Ziffer „2“ der Wert sowie für die Ziffer „7“ der Wert . Die Ziffern „1“, „2“ und „7“ besitzen jeweils ihren Ziffernwert, tragen aber zum Zahlenwert mit einem Gewicht bei, das davon abhängt, an welcher Position sie im Zahlzeichen stehen.

Wenn der Ziffernvorrat des Stellenwertsystems aus Schriftzeichen besteht, dann gilt für das Zehnersystem mit dem Ziffernvorrat von „0“ bis „9“ die Anzahl . Für Zahlen mit einem Wert größer als die höchstwertige Ziffer (im Beispiel die „9“) werden keine weiteren Ziffern geschaffen, sondern der Stelle oder Position, die von einer Ziffer belegt ist, wird eine weitere Stelle vorangestellt. Die Ziffer auf der zusätzlichen Stelle wird aus demselben Vorrat entnommen, wird aber um den Faktor höher gewichtet. Dadurch bekommt jede Stelle einen Wert, ihren Stellenwert; durch den Faktor wird er größer als eins. Für jede weitere erforderliche Stelle erhöht sich ihr Stellenwert um einen weiteren Faktor . Damit ergibt sich der Wert  einer dreistelligen natürlichen Zahl aus ihren drei Ziffernwerten , und zu .

Bei dem systembedingt endlichen Vorrat an Ziffern hängt die Anzahl der für ein Zahlenzeichen erforderlichen Stellen logarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab – im Unterschied zu Additionssystemen, bei denen dieser Zusammenhang (asymptotisch zu großen Zahlen hin, jenseits der höchstwertigen Ziffer) linear ist.

mini|Eine Zeitangabe mit Leuchtdioden: Jede Diode zeigt den Wert einer Ziffer des Dualsystems. Jede Spalte zeigt mit dem Zahl­zeichen einer Dualzahl den Wert einer Ziffer des Dezimalsystems. Zusam­men zeigen sie in der Zeit­unter­teilung gemäß dem Sexagesimalsystem eine Uhrzeit.

Geschichte Zahlensysteme sind schon vor Jahrtausenden entstanden. Entwicklungen in verschiedenen Kulturkreisen hatten dasselbe Ziel, Zahlen durch eine Zahlschrift festhalten zu können. Ein frühes Stellenwertsystem ist aus Babylon bekannt. Diese hatte den Nachteil, dass eine Uneindeutigkeit entstehen konnte, wenn in einem Zahlzeichen eine Stelle leer blieb. Sehr viel später wurde zu deren Kennzeichnung ein Lückenfüller oder Platzhalter in das Zahlzeichen eingefügt, der aber nicht als numerischer Bestandteil galt. Durch die sich in Indien bis ins 7. Jahrhundert n. Chr. hinziehende „Entdeckung“ der Zahl null und durch die Einführung eines Schriftzeichens für diese als vollwertige Ziffer, mit dem auch gerechnet werden konnte, kam die indische Mathematik in die Lage, ein Stellenwertsystem in Form des Dezimalsystems zu schaffen, wie es inzwischen weltweit übernommenen worden ist.Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure: Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch. 7. Auflage. Springer Vieweg, 2015, S. 5.Hadwig Dorsch, Ehrhard Behrends: Wie die Ausstellung Mathema entstand in Ist Mathematik die Sprache der Natur? Von der Keilschrift bis zu den Grenzen der Erkenntnis. Spektrum der Wissenschaft, 2013. „Zweifellos ist die Null eine der genialsten Erfindungen der Menschheit.“Albrecht Beutelspacher: Kleines Mathematikum. 3. Auflage. Verlag C. H. Beck, 2010, S. 38.

Erst mit der Einführung der Null ist das Stellensystem so leistungsfähig geworden, wie es heute als selbstverständlich erachtet wird, mit dem nicht nur Zahlen dargestellt werden können, sondern auch einfach gerechnet werden kann. Über Arabien kam diese Kenntnis im 13. Jahrhundert durch Fibonacci nach Europa und erst im 16. Jahrhundert verbreitete Adam Ries mit seinen Rechenbüchern das Stellenwertsystem und das schriftliche Rechnen im deutschsprachigen Raum.Friedhelm Padberg, Andreas Büchter: Einführung Mathematik Primarstufe – Arithmetik. 2. Auflage. Springer, 2015, S. 24. Die Erfindung des Dezimalbruchs durch Giovanni Bianchini gegen Mitte des 15. Jahrhunderts und sein Wiederaufgreifen durch Simon Stevin und Christophorus Clavius gegen Ende des 16. Jahrhunderts hat das numerische Rechnen weiter perfektioniert.

Grundbegriffe Zahlen werden durch Wörter oder mittels einer Zahlschrift durch Zahlzeichen dargestellt. Diese sind aus Ziffern und gegebenenfalls Vorzeichen oder Trennzeichen zusammengesetzt. Das Besondere an einem Stellenwertsystem liegt in seinem Aufbau auf Stellen, wobei jede Stelle eine Ziffer enthält, und zu jeder Stelle gehört ein eigener Stellenwert. Der Zahlenwert ergibt sich anhand der Anordnung der Ziffern aus deren Ziffernwerten und Stellenwerten.

Basis Die Basis oder Grundzahl des Stellenwertsystems legt den Faktor fest, um den der Stellenwert von Stelle zu Stelle größer wird, angefangen mit dem Stellenwert eins auf der niederwertigsten Stelle einer natürlichen Zahl. Diese Basis ist also dieselbe wie die Basis der Potenzen von , die die Stellenwerte ergeben, und sie stimmt mit dem Umfang des Ziffernvorrats überein. Ein Stellenwertsystem mit der Basis nennt man auch Zahlensystem (nicht zu verwechseln mit Zahlen). Jede ganze Zahl eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem. (Bei hätten alle Stellen denselben Stellenwert, was dem Prinzip des Stellenwertsystems widerspräche.Der Fall bedeutet einen nur aus einem einzigen Element bestehenden Ziffernvorrat, sodass als Unterscheidungsmerkmal zwischen zwei Darstellungen nur ihre Länge in Frage kommt. Das führt im besten Fall zum Unärsystem, einem nicht so mächtigen Darstellungssystem, welches nicht als Stellenwertsystem gilt, da der Stellenwert einer Ziffer unabhängig von ihrer Position immer gleich ist.) Die gängigsten Basen sind:DIN 1333, Zahlenangaben, 1992, Kap. 8. : das in der Digitaltechnik verwendete Dualsystem (auch Binärsystem genannt) : unser vertrautes Dezimalsystem : das in der Datenverarbeitung wichtige Hexadezimalsystem. Weitere in der Praxis verwendete Zahlensysteme finden sich im Abschnitt Gebräuchliche Basen.

Ziffernvorrat Bei einem Stellenwertsystem wird ein Ziffernsystem mit genau verschiedenen Ziffern verwendet. Bei den verbreitetsten Ziffernsystemen steht eine Ziffer der unten angegebenen Art für einen ganzzahligen Ziffernwert .Interessant sind auch Ziffernsysteme mit negativen Ziffernwerten, insbesondere die balancierten Stellenwertsysteme. Eher exotisch sind die Systeme von David W. Matula (zitiert nach #Knuth1 ).Alle enthalten jedoch die Null, da sonst die Null selbst nicht darstellbar ist und eine abgebrochene Darstellung sich um mehr als den kleinsten Stellenwert von der genauen Zahl unterscheidet. Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in der festgelegten Reihenfolge zur Ziffer mit dem nächsthöheren Wert übergegangen; bei den wenigen vorhandenen Ziffern wären aber nur wenige Zählschritte möglich. Deshalb wird bei der höchstwertigen Ziffer durch Addition einer Eins auf die niedrigstwertige Ziffer übergegangen und auf der nächsthöheren Stelle eine Eins addiert. Bei einem Übertrag auf eine nicht besetzte Stelle wird diese vorab mit einer Null besetzt; bei einer nicht begrenzten Anzahl von Stellen lässt sich dadurch das Zählen unbeschränkt fortsetzen.

In den gängigen Zahlensystemen werden folgende Ziffern verwendet und ihnen ein Ziffernwert zugewiesen (zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffersymbole fett und ihre zugehörigen Werte normal gedruckt):

Im Dualsystem werden die beiden Ziffern 0 und 1 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen 0 und 1 zugeordnet. Im Dezimalsystem werden die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen von 0 bis 9 in der konventionellen Reihenfolge zugeordnet. Im Hexadezimalsystem werden die sechzehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F verwendet und ihnen jeweils die Werte der Dezimalzahlen von 0 bis 15 zugeordnet. Ist die Basis noch größer, kann es zu einer Kombination weniger Ziffern in einem weiteren Zahlensystem kommen. So werden im babylonischen Sexagesimalsystem mit statt 60 verschiedener Ziffern die Dezimalzahlen von 1 bis 59 wie Ziffern benutzt. (Die Ziffer 0 war zur Blütezeit des Sexagesimalsystems noch nicht erfunden; für ein „Nichts“ wurde nichts geschrieben.) – IP-Adressen im IPv4-Format umfassen 4 Stellen zur Basis ; statt Ziffern werden ihrem Wert entsprechende Dezimalzahlen von 0 bis 255 geschrieben und durch einen Punkt getrennt, beispielsweise 192.0.2.42. – Eine andere Art der Zuordnung von Ziffer zu Ziffernwert wurde bei der Codierung Base64 gewählt.

Mitunter werden anstatt Ziffern auch andere Symbole verwendet; beispielsweise werden in der Elektronik oft die beiden Zustände eines Dualsystems nicht mit 0 und 1 beschrieben, sondern es werden stattdessen H und L (für „High“- und „Low“-Logikpegel) verwendet (selten O und L für „On“ und „Low“ – „Ein“ und „Aus“).

Stelle und Stellenwert Der Wert einer Zahl ergibt sich nun durch die Anordnung der Ziffern in einer Ziffernfolge. Jeder Platz, den eine Ziffer in dieser Anordnung einnimmt oder einnehmen soll, ist eine Stelle.DIN 1333, Zahlenangaben, 1992, Kap. 10.1 Jeder Stelle wird ein Stellenwert zugewiesen, der einer Potenz der Basis entspricht. Die Stelle mit dem niedrigsten Stellenwert steht dabei ganz rechts.Eine solche Notation mit von links nach rechts absteigender Wertigkeit ist in der Datenverarbeitung im Format Big-Endian beibehalten worden. Im Dezimalsystem gilt beispielsweise bei der Darstellung natürlicher Zahlen:

Der Stellenwert der ersten Stelle von rechts („Einerstelle“) ist . Der Stellenwert der zweiten Stelle von rechts („Zehnerstelle“) ist . Der Stellenwert der dritten Stelle von rechts („Hunderterstelle“) ist , und so weiter.

Für das Weitere erweist sich als vorteilhaft, die Stellen nicht ab eins, sondern ab null zu nummerieren. Auf diese Weise hat dann die Stelle gerade den Stellenwert . Bei der Darstellung rationaler Zahlen werden auch negative Exponenten zugelassen.

Darstellungen verschiedener Zahlenarten Darstellung natürlicher Zahlen Natürliche Zahlen werden in der Darstellung durch eine endliche Folge von Ziffern in der Form

dargestellt. Dieser Ziffernfolge wird nun die Zahl mit dem Zahlenwert

zugeordnet, wobei der der Ziffer zugewiesene Ziffernwert ist.

Der Wert der Ziffernfolge gehört zum Laufindex der höchstwertigen Stelle, auf der ist.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Zahlenwert ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu, beliebig oft die Ziffer 0 = 0 auf höherwertigen Stellen voranzustellen. Werden Folgen mit führender 0 verboten, so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert ist. Als Ausnahme von diesem Verbot wird der Zahl null nicht die leere Folge (also die Folge ohne ein einziges Glied) zugeordnet, sondern die Folge mit genau einer Ziffer, und zwar der, welcher der Wert 0 zugeordnet wird (also 0), um diese Zahl typografisch erkennbar zu machen.

Als Beispiel für die angegebene Zahlendarstellung betrachten wir die Ziffernfolge 694 im Dezimalsystem (). Sie steht für:

Die Ziffernfolge 2B6 im Hexadezimalsystem () steht für . Bei einer Zuordnung der Werte der Hexadezimalziffern auf Werte von Dezimalzahlen = 6 = 6; = B = 11; = 2 = 2 und bei weiterer Rechnung im Dezimalsystem entspricht die Folge 2B6 dem Wert der Dezimalzahl

Entsprechend entspricht die Ziffernfolge 1010110110 im Dualsystem () dem Wert der Dezimalzahl

Darstellung ganzer Zahlen