Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet die Möglichkeit, aus C*-Algebren neue zu konstruieren. Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, das algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren zu einer C*-Algebra zu vervollständigen; die hier behandelte C*-Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Möglichkeiten, weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht. Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M. Takesaki zurück.M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122

Definitionen Es seien und zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt ist eine Norm , so dass ist eine normierte Algebra für alle Ist eine solche C*-Norm, so ist die mit bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren und definieren lässt, so spricht man von einem -Tensorprodukt.R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, §11.3

Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt, es gilt für alle .R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Lemma 11.3.3

In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.

Konstruktion Es seien und zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume und und isometrische *-Homomorphismen und , das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen. Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt und betrachtet ein Element des algebraischen Tensorproduktes als Operator auf , der durch

definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung der Operatornorm von auf eine C*-Norm ist.

Unabhängigkeit von den Hilberträumen Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind und Zustände auf bzw. , so gibt es genau einen mit bezeichneten Zustand auf mit für alle und , den sogenannten Produktzustand aus und . Für ein Element des algebraischen Tensorproduktes gilt nun

wobei das Supremum über alle Zustände von , von und mit gebildet wirdR.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.2 und §11.3.1. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.

Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird an Stelle von geschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise .

Eigenschaften Sind und *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit bezeichneten *-Homomorphismus , so dass für alle . Sind beide und isometrisch oder *-Isomophismen, so hat dieselbe Eigenschaft.R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.3

Ist eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt , so ist Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9, Theorem 6.4.18R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.3.9. Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise .

Beispiele Seien eine C*-Algebra und ein kompakter Hausdorffraum. sei die Menge aller stetigen Funktionen . Für , und definiere: . Damit wird zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus .R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Beispiel 11.1.7

Seien die C*-Algebra der komplexen -Matrizen und eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum operiere. Weiter sei die Algebra der -Matrizen mit Einträgen aus ; diese operiert in üblicher Weise auf , das heißt

Dadurch trägt die Norm von und man zeigt, dass , wobei auf abgebildet wird.

Siehe auch Maximales Tensorprodukt, eine weitere Tensorproduktnorm für C*-Algebren Nukleare C*-Algebra, C*-Algebren mit eindeutiger Tensorproduktnorm Eine ganz ähnliche Konstruktion führt zu einem Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren.

Einzelnachweise

Literatur Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9 R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1

Kategorie:Funktionalanalysis