Dies ist eine Formelsammlung zum mathematischen Teilgebiet der Logik.
Aussagenlogik Logische Werte: wahr (true) 1 falsch (false) 0 Erweiterte Logik: unbestimmt (Don’t-Care) X
Aussagen können durch logische Operatoren, auch Junktoren genannt, verknüpft werden. Die üblichen Junktoren sind:
Name Symbol sprachliche Umschreibung Operation Definition Negator nicht Negation Die Negation eines logischen Werts ist genau dann wahr, wenn der Wert falsch ist. Konjunktor und Konjunktion Die Konjunktion von zwei Werten ist genau dann wahr, wenn beide Werte wahr sind. Disjunktor oder Disjunktion Die Disjunktion von zwei Werten ist genau dann wahr, wenn mindestens ein Wert wahr ist.
Um die Symbole des Konjunktors und des Disjunktors leicht auseinanderhalten zu können, gibt es die Eselsbrücke mit den drei O: „Oder ist Oben Offen.“ Alternativ merkt man sich "And" (Englisch) für und, sowie "vel" (Latein) für oder.
Verknüpfungen zweier Aussagen Name sprachliche Umschreibung äquivalente Darstellungen Wahrheitstabelle Logikgatter durch Negator, Konjunktor und Disjunktor durch andere Junktoren A=1 A=0 B=1 B=0 B=1 B=0 Konjunktion A und B 1 0 0 0 AND Exklusion, konträrer Gegensatz nicht zugleich A und B , , , 0 1 1 1 NAND Disjunktion A oder B (oder beide) , 1 1 1 0 OR Nihilition, Rejektion weder A noch B , 0 0 0 1 NOR Kontravalenz, kontradiktorischer Gegensatz entweder A oder B , , 0 1 1 0 XOR Bikonditional, Bisubjunktion, materiale Äquivalenz B dann und nur dann, wenn A; genau dann B, wenn A , , 1 0 0 1 XNOR Konditional, Subjunktion, materiale Implikation Implikation wenn A, dann B , 1 0 1 1 Replikation wenn B, dann A , 1 1 0 1 Inhibition Postsektion A und nicht B 0 1 0 0 Präsektion B und nicht A 0 0 1 0
Insgesamt sind 16 Funktionen mit zwei Input-Variablen möglich. Zu den genannten zehn Funktionen kommen noch die eher uninteressanten Funktionen konstant_0, konstant_1, dazu.
Logische Grundgesetze Gesetz der doppelten Negation Kommutativgesetze Assoziativgesetze Distributivgesetze Idempotenz Gesetze der Negation (Tautologie / Kontradiktion) Absorptionsgesetze Neutralität De Morgansche Gesetze
Schlussregeln Modus ponens Modus tollens Hypothetischer Syllogismus Disjunktiver Syllogismus
Prädikatenlogik Quantoren p ist Platzhalter für eine prädikatenlogische Aussageform.
Pränexform und sind im Folgenden Platzhalter für prädikatenlogische Aussageformen. Die Umformungen in Zeilen 1, 2, 4 und 5 der Tabelle gelten nur, wenn x innerhalb von nicht frei vorkommt, d. h., wenn durch das Verschieben des Quantors keine Variablenbindung entsteht (bzw. aufgelöst wird), die zuvor nicht da war (bzw. da war).
Unproblematisch ist das, wenn die Variablen in den Aussageformen und jeweils unterschiedlich benannt sind.
Minimale Schlussregeln Quasiordnung ist im Folgenden eine Quasiordnung zwischen Aussagen.
Konjunktion und werden durch folgende Regeln definiert.
Disjunktion und werden durch folgende Regeln definiert.
Heyting-Implikation und -Negation wird durch die Regel
definiert, und per .
Es gelten , und .
Ko-Heyting-Implikation und -Negation Dual zu und sind und .
,
.
Es gelten
und .
Beziehung zwischen den Negationen Es gilt immer . Gilt auch , erhält man klassische Logik.
Quantoren Es sei eine Abbildung. Eine beliebige Aussage über Elemente von kann per in eine Aussage über -Elemente transformiert werden; Notation: . ist ein Funktor. Sein Rechts- und Linksadjungierter ist der All- bzw. Existenzquantor, d. h.,
.
Siehe auch
Liste mathematischer Symbole
Kategorie:Logik Logik Kategorie:Liste (Mathematik)