Die irrationalen Rotationsalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um eine Klasse von C*-Algebren, die sich aus der C*-Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf dem Einheitskreis zusammen mit einer Rotation dieses Einheitskreises um einen irrationalen Winkel ergeben.
Konstruktion mini|350px|right|V dreht den Definitionsbereich von Funktionen Im Folgenden sei eine fest gewählte irrationale Zahl. Betrachte den -Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen, wobei wie üblich die Kreisgruppe mittels mit dem Einheitskreis identifiziert wird, und darauf die beiden wie folgt definierten unitären Operatoren und :
, wobei
und
ist ein Multiplikationsoperator und rotiert eine Funktion um den Winkel .
Die von und erzeugte C*-Algebra heißt daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel und wird mit bezeichnet.Kapitel VI: Irrational Rotation Algebra
Eigenschaften
Leicht bestätigt man , in der Tat ist
.
Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist eine C*-Algebra, die von zwei unitären Operatoren und erzeugt wird, die die Relation erfüllen, so gibt es genau einen *-Isomorphismus mit und .Theorem VI.1.4
ist einfach, das heißt die Algebra enthält keine zweiseitigen *-Ideale außer und sich selbst.
Es gibt eine eindeutige Spur , das heißt, es gibt genau ein lineares Funktional mit für alle , für alle und , wobei das Einselement in sei.Satz VI.1.3
Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in .I. Putnam: The invertibles are dense in the irrational rotation C*-algebras, J. reine angewandte Mathematik, Band 140 (1990), Seiten 160–166
Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear.
Alternative Konstruktion Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum mit der Orthonormalbasis vorgestellt. Man definiere die unitären Operatoren durch:
(zweiseitiger Shift),
(unendliche Diagonalmatrix).
Dann bestätigt man leicht , woraus folgt. Wegen der oben erwähnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhält man daraus .
K-Theorie Nach einem Satz von Marc RieffelM. A. Rieffel: C*-algebras associated with irrational rotations, Pacific J. Math., Band 93 (1981), Seiten 415–429 gibt es zu jedem eine Projektion mit , wobei die eindeutige Spur auf sei.
Da eine unperforierte, skalierte, kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist (für diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra , die diese Gruppe als K0-Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra , die selbst keine AF-C*-Algebra ist, mit in Verbindung zu bringen. Tatsächlich konnten M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung konstruierenM. Pimsner, D. Voiculescu: Imbedding the irrational rotation algebra into an AF algebra, Journal of Operator Theory, Band 4 (1980), Seiten 93–118. Daraus folgt zunächst und dannKorollar VI.5.3:
Zwei irrationale Rotationsalgebren und sind genau dann isomorph, wenn ist.
Kreuzprodukt Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems. Ist durch definiert und ist , so ist ein C*-dynamisches System und es ist .Beispiel VIII.1.1
Einzelnachweise
K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1:
Kategorie:Algebra (Struktur) Kategorie:Funktionalanalysis