In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.
Definition Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:
Die Lambertsche L-Funktion bildet den Spezialfall dieser Reihe mit für alle Werte n:
Eigenschaften Konvergenz Für konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe konvergiert. Konvergiert nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle , für die die Potenzreihe konvergiert (Satz von Konrad Knopp).
Lambert-Reihe als Potenzreihe Die Lambert-Reihe kann für in eine geometrische Reihe
entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von mit der konstanten Folge ergeben:
Alternative Form Setzt man , so erhält man eine andere übliche Form der Reihe
wieder mit
Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit , treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.
Anwendung Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.
Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):
Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:
Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:
Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:
Siehe auch Thetafunktion Elliptisches Nomen
Literatur
Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien.
Einzelnachweise
Kategorie:Folgen und Reihen Kategorie:Analytische Zahlentheorie Reihe